ОЦЕНКА РЫНОЧНОЙ СТОИМОСТИ ЦЕННЫХ БУМАГ С УЧЕТОМ СТОХАСТИКИ ФОНДОВОГО РЫНКА

Стохастический процесс — это процесс, описывающий динамику экономической переменной, главным свойством которой является неопределенность и непредсказуемость ее значений. Стохастические процессы являются наиболее адекватной моделью, описывающей динамику экономических переменных на эффективном фондовом рынке.

Марковские процессы на фондовом рынке

В начале XX в. французский математик Луи Башелье защитил в Парижском университете докторскую диссертацию под названием «Теория спекуляции», в которой предложил необычную модель ценообразования акций на Парижской фондовой бирже. Проанализировав движение рыночных цен на акции, Л. Башелье пришел к выводу о том, что ценообразование активов на фондовой бирже полностью стоха- стично, поэтому он использовал идею броуновского движения для моделирования ценообразования акций.

Спекулянты случайным образом выставляют заявки на продажу и на покупку ценных бумаг, это, в свою очередь, случайным образом влияет на рыночные цены фондовых активов. Данный механизм напомнил французскому математику процесс броуновского движения, который наблюдается, например, в биологии при движении пыльцы цветов на поверхности неподвижной воды. Новаторским шагом в исследованиях Л. Башелье было то, что он перешел в анализе от абсолютных значений цен фондовых активов к величинам их приращений. В том случае, когда число заявок на покупку превышало число заявок на продажу за тот же временной период, цена биржевого актива возрастала на некоторую положительную величину, и наоборот.

Приращение цены демонстрировало свойства случайного процесса. Неожиданным оказался результат исследования, заключающийся в том, что приращения цен акций оказались статистически независимыми. Текущее изменение цены актива не зависело от предыдущего приращения цены. Поэтому невозможно предсказывать динамику такого временного ряда, используя только лишь ретроинформацию. Таким свойством обладают марковские процессы, о которых еще ничего не было известно в 1900 г. Открытие Л. Башелье опередило свое время, оно было не понято не только практиками фондового рынка, но и экономистами-теоретиками. Прошло еще более полувека, прежде чем новаторская работа Башелье была по достоинству оценена профессионалами рынка ценных бумаг.

Только во второй половине XX в. экономисты начали активно применять методы случайных блужданий в своих исследованиях. Так, например, известный английский статистик М. Кендалл опубликовал в 1953 г. работу, в которой было доказано отсутствие автокорреляций во временных рядах приращений цен фондовых активов и продемонстрирована возможность применения модели случайного блуждания при исследовании процессов на фондовом рынке. Результаты исследований Л. Башелье и М. Кендалла были применены при построении теории эффективного рынка, которая в настоящее время достаточно популярна в экономических исследованиях1.

Исследования Л. Башелье были продолжены и развиты величайшим русским математиком Андреем Марковым (1856—1922), академиком, внесшим большой вклад в теорию вероятностей, математический анализ и теорию чисел. В 1886 г. А. Марков был избран профессором физико-математического факультета Санкт-Петербургского университета. Его самые известные исследования были посвящены случайным процессам с дискретной и непрерывной временной компонентой, которые впоследствии были названы его именем. Цепи Маркова являются важным математическим инструментом в анализе случайных процессов.

Основная идея Маркова — гипотеза о том, что исследование случайных процессов может быть упрощено, если рассматривать будущее развитие процесса как независимое от прошлых событий, учитывая только нынешнее его состояние. Такой подход используется для упрощения предсказаний будущего состояния стохастического процесса[1] [2].

Цепи Маркова являются фундаментальной частью теории стохастических процессов. Они широко используются во многих разных дисциплинах, в том числе и в финансах. Цепь Маркова — это стохастический процесс, который удовлетворяет марковскому свойству, что означает — прошлое и будущее независимы, когда настоящее известно. Другими словами, если известно текущее состояние процесса, то никакой дополнительной информации из его прошлых состояний не требуется, для того чтобы наилучшим образом предсказать его будущее состояние. Эта простота позволяет значительно уменьшить количество параметров при изучении такого процесса1. В математических терминах определение может быть выражено следующим образом: стохастический процесс X = п, п е N} в счетном пространстве S является марковским процессом с дискретным временем, если:

для всех п > 0 Хп е S;

для всех п > 1 и для всех i0, ib ..., in_b ine S имеем:

Цепи Маркова используются для вычисления вероятности события перехода объекта в другое состояние или вероятности того, что объект останется в том же состоянии, что и раньше. В качестве примера можно привести расчет вероятности сохранения хорошей погоды завтра. Если мы произвольно выбираем вероятности предсказания погоды, то она может быть следующей: если сегодня солнечный день, то вероятность того, что следующий день будет дождливый, равна, например, 0,3, а вероятность того, что следующий день будет солнечный, равна 0,7. Если день сегодня дождливый, то вероятность того, что завтра день будет солнечный, — 0,2, а того, что следующий день останется дождливым, — 0,8. Это можно изобразить графически на диаграмме перехода (рис. 3.1), где отображены все возможные состояния переходов:

Пример марковского процесса

Рис. 3.1. Пример марковского процесса

Для того чтобы записать это математически, необходимо перейти к матричному анализу и ввести вектор текущего состояния S0 = (Солнечно; Дождливо), который имеет размерность 1x2. Элементами этого вектора будут текущие состояния процесса. Если, например, сегодня солнечный день, тогда вектор S0 будет иметь значения S0 = (1; 0), потому что существует единичная вероятность солнечного дня и нулевой шанс, что это будет дождливый день. Чтобы перейти к следующему состоянию, требуется матрица вероятностей перехода, которая представляет собой только вероятности перехода состояния, суммированные в матрице. В данном случае тело матрицы Р будет следующим:

Sericola В. Markov chains: theory, algorithms and applications. London : ISTE Ltd and John Wiley & Sons Inc., 2013.

Перейдем теперь к следующему состоянию, к Sb для этого нужно произвести следующие вычисления: S] = SqP. Поскольку расчет любого последующего состояния Sn предполагает проведение следующих вычислений: Sn = S^P, то общая формула для вычисления вероятности нахождения процесса в определенном конечном состоянии будет определяться формулой Sn = SqPп. Это позволяет сильно упростить расчеты, когда вычисления производятся для отдаленного будущего времени1. Например, если сегодня солнечный день, тогда вектор состояния погоды через 120 дней, S120, будет равен S120 = (0,4; 0,6).

Цепи Маркова могут быть двух разных типов: с дискретным временем и непрерывным. Это означает, что есть процессы, когда изменения происходят в определенных состояниях, и процессы, когда изменения наблюдаются непрерывно. В финансовых расчетах в основном применяются цепи Маркова с дискретным временем. Одним из примеров иллюстрации цепи Маркова с дискретным временем является цена актива, значение которой регистрируется только в определенный момент времени. Непрерывная цепь Маркова меняется в любое время. Это можно объяснить экономическим явлением, в котором изменения события происходят непрерывно и не имеют фиксированных «шагов». Одним из хорошо известных примеров непрерывной марковской цепи является пуассоновский процесс, который часто практикуется в теории массового обслуживания[3] [4].

Для конечной цепи Маркова пространство состояний S обычно задается формулой S = (1, ..., т}, для бесконечной цепи Маркова — S = {0, 1, 2, ...}. Цепи Маркова могут быть стационарными и, следовательно, не зависящими от их начального состояния. Бесконечные цепи Маркова стационарного состояния не имеют, стационарная цепь Маркова должна быть однородной по времени.

Поскольку цепи Маркова могут быть применены для моделирования многих процессов реального мира, они используются в самых разнообразных ситуациях. Их применение варьируется от нанесения на карту популяций животного мира до составления компьютерных поисковых алгоритмов, написания музыкальных композиций и распознавания речи. В экономике и финансах они часто используются для прогнозирования макроэкономических переменных, деловых циклов, цен опционов, а также для расчета кредитных рисков. При тестировании финансового рынка марковские цепи используются для моделирования случайной динамики. Цена актива, например, в методе стохастического дисконтирования задается случайным фактором, который определяется с помощью марковской цепи.

Основной проблемой при применении цепей Маркова является формирование матрицы перехода со значениями вероятностей перехода. Разумеется, эти вероятности можно было бы оценить, проанализировав исторические данные, например, рыночных цен деривативов. Это может, однако, привести к ненадежным результатам, если будущая ситуация на фондовом рынке будет развиваться не так, как в прошлом. Поэтому можно поступить по-другому, основываясь на комбинации эмпирических данных и более субъективных, качественных данных, таких как мнения экспертов. Для объединения различных источников информации можно использовать теорию вероятностей, применяя методы взвешивания различных источников данных, например, метод иерархий Саати1.

Рассмотрим практический пример применения марковских цепей для прогнозирования ситуации на гипотетическом фондовом рынке1 [5] [6]. На любом рынке ценных бумаг может наблюдаться либо подъем рыночных цен активов (бычьи рынки, когда участники оптимистично смотрят в будущее), либо падение рыночных цен активов (медвежий рынок, когда участниками овладевают пессимистичные настроения), либо боковой рынок (периоды времени, когда рынок не характеризуется ни снижением, ни ростом общих цен). После недели, характеризующейся бычьей тенденцией, существует вероятность 0,9 того, что последует еще одна бычья неделя. Кроме того, есть вероятность 0,075, что бычья неделя сменится медвежьей, или 0,025 шанса того, что рынок перейдет в боковик. После медвежьей недели прогнозируется вероятность 0,8 того, что предстоящая неделя также будет медвежьей, и т. д. Записывая эти вероятности в таблицу, получим следующую матрицу переходам (рис. 3.2):

Затем мы создаем вектор С размерностью 1x3, который содержит информацию о том, какая из трех разных ситуаций нас будет интересовать в будущем через определенное количество недель. Например, первый столбец отвечает за бычий рынок, второй — за медвежий, третий — за боковой рынок. Если мы запишем вектор С в форме С = (0; 1; 0), то нас будет интересовать вероятность появления медвежьих тенденций на рынке через определенное количество недель в будущем. Например, через 5 недель вероятность того, что на фондовом рынке будут преобладать снижение цен активов, будет равна 0,45:

Применение марковского процесса на фондовом рынке

Рис. 3.2. Применение марковского процесса на фондовом рынке

Нетрудно показать, что при увеличении количества периодов (при п, стремящемся к бесконечности) вероятности наступления бычьих или медвежьих тенденций на фондовом рынке будут стремиться к своим предельным значениям (0,63; 0,31; 0,05), а стационарные вероятности этой цепи Маркова не зависят от начального состояния. Эти результаты могут быть использованы различными способами, например для вычисления среднего времени, необходимого для окончания медвежьего периода, или вероятности того, что бычий рынок станет медвежьим или боковым.

Цепи Маркова используются в широком спектре академических задач: от биологии до экономики. При прогнозировании стоимости актива цепи Маркова могут использоваться для моделирования хаотичности. Цены на фондовые активы устанавливаются случайным образом, что может быть аппроксимировано цепью Маркова[7]. Существуют различные типы концепций в отношении цепей Маркова в зависимости от характера параметров и области применения. Они могут быть вычислены по дискретному или непрерывному времени. Пространство состояний может быть как конечное, так и счетно-бесконечное. Цепи Маркова со счетно-бесконечным пространством состояний могут быть стационарными, что означает: процесс сходиться к устойчивому состоянию.

Марковские процессы неоднородны, можно выделить несколько их видов: основной процесс Винера, обобщенный процесс Винера и процесс Ито. Рассмотрим их более подробно.

  • [1] Ильинский А. Биномиальное дерево и многопериодные модели биржевых цен //Валютный спекулянт. 2000. № 9 (11). С. 46—49.
  • [2] Myers D., Wallin L., Wikstrom P. An introduction to Markov chains and their applicationswithin finance // MVE220 Financial Risk: Reading Project. URL: http://www.math.chalmers.se/Stat/Grundutb/CTH/mve220/1617/redingprojectsl6-17/IntroMarkovChainsandApplications.pdf.
  • [3] Konstantopoulos Т Introductory lecture notes on Markov chains and random walks //Autumn 2009. URL: https://pdfslide.us/documents/introductory-lecture-notes-on-markov-chains-and-random-walks.html.
  • [4] Вентпцелъ E. G, Овчаров Л. А. Теория случайных процессов и ее инженерные приложения : учеб, пособие для вузов. 2-е изд., стер. М. : Высшая школа, 2000.
  • [5] Siu Т.-К., Ching W.-K., Fung S. Е., Ng М. К. On a multivariate Markov chain model forcredit risk measurement // Quantitative Finance. Feb. 2007. Vol. 5 (6). P. 543—556.
  • [6] Myers D., Wallin L., Wikstrom P. Op. cit.
  • [7] Иванченко И. С. Моделирование финансового рынка : курс лекций. Ростов н/Д :РГЭУ, 2009.
 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >