Агрегат как универсальная математическая схема для описания систем

Рассмотренные математические схемы позволяют дать формализованное описание системы и в ряде случаев получить аналитические решения. Однако эти схемы не дают представления о структуре имитационного алгоритма, что необходимо, если такой способ выбран в качестве метода исследования. Эта структура становится очевидной при использовании такой общей универсальной математической схемы, как агрегат. Одно из первых описаний агрегата можно найти в монографии Н. П. Бусленко [4].

Для задания агрегата вводят следующие множества: Т — фиксированное подмножество множества действительных чисел; X, Г, Y, Z — множества любой природы. Элементы указанных множеств определяются так: t е Т — момент времени; х е X — входной, ge Г — управляющий, у е Y — выходной сигналы; z е Z — состояние. Впоследствии состояния, входные, выходные и управляющие сигналы будут рассматриваться как функции времени; их значения в момент t будут обозначаться z(t), x(t),y(t), g(t) соответственно.

Под агрегатом понимается абстрактный объект, определяемый множествами Т, X, Г, У, Z и операторами (вообще говоря, случайными) переходов V и выходов W, реализующими функции z(t) и y(t) соответственно. Агрегат характеризуется также пространством параметров агрегата П, элементы которого имеют вид П = (пь п2, п3, ..., пк).

Рассмотрим реализацию оператора выходов W. Он состоит из двух операторов: оператор W' вырабатывает очередные моменты выдачи выходных сигналов, а оператор W" формирует содержание этих сигналов.

Оператор W' «следит» за попаданием траектории агрегата в область ZY(g, п) и определяет очередной момент достижения процессом z(t) подмножества ZY(g, л).

В пространстве состояний агрегата Z для каждого значения 71 е П и g е Г можно выделить некоторую область ZY(g, л) с Z, вид которой зависит от g и л. Если траектория системы z(t) попадает в эту область, то надлежит выдать выходной сигнал. Множество ZY(g, л) в общем случае изменяется при изменении параметров агрегата и в моменты поступления новых управляющих сигналов g(t). В интервалах времени между моментами поступления управляющих сигналов множество ZY(g, л) не изменяется и остается таким, каким оно оказалось в момент поступления последнего управляющего сигнала.

Множество ZY(g, л) определяет вид и моменты выдачи выходных сигналов.

Формально это можно записать следующим образом. Если z(x) € ZY(g, л) при t - е < т < t, где 8 > 0 — интервал времени достаточно малой длительности, но z(t) е ZY(g, л), то момент t является моментом выдачи выходного сигнала:

В общем случае оператор W" является случайным оператором. Это значит, что данным t, z(t), g(t) и л ставится в соответствие не одно определенное значение у, а некоторое множество Y с распределением вероятностей, задаваемых оператором W". Обратимся теперь к оператору переходов V. Наряду с непрерывным изменением состояния агрегата z(t) будем рассматривать также скачкообразные изменения его состояния. Такие переходы имеют место, когда агрегат выдает выходной сигнал, или принимает входной сигнал, или получает управляющий сигнал. Состояния, в которые переходит агрегат в этих случаях, называют особыми состояниями и обозначают как z(t + 0), указывая таким образом, что это то состояние, в которое агрегат переходит за бесконечно малый интервал времени, т. е.

скачком. Так работают, например, дискретные электронные элементы.

Вид оператора V зависит от следующих факторов:

  • а) поступили или нет в течение рассматриваемого интервала времени управляющие и входные сигналы;
  • б) был ли выдан выходной сигнал.

Поэтому представим его в виде совокупности случайных операторов V*, V, V" и U.

Пусть t' — момент поступления в агрегат входного сигнала х'. Тогда агрегат, находившийся в этот момент в состоянии z(t'), переходит в состояние

Здесь под g понимается последний управляющий сигнал, поступивший в момент t < t'.

Если t" — момент поступления в агрегат управляющего сигнала g", то

Если t — момент одновременного поступления в агрегат и входного х, и управляющего g сигналов, то

В этом выражении под V"{t, z(t), g, п} понимается не оператор, а результат его действия на аргументы t, z(t), g, к. Другими словами, вместо (2.3) можно записать

где z(t + 0) определяется соотношением (2.2) для t, z(t), g, к.

Если оператор W' обнаружил, что в момент f есть условия для выдачи выходного сигнала у, то, выдав этот сигнал, агрегат перейдет в особое состояние

Здесь под g понимается последний управляющий сигнал, поступивший в момент t < Г.

Если полуинтервал (t,„ tn+l] не содержит моментов поступления входных и управляющих сигналов или выдачи выходных сигналов, a tn+1 — момент следующего «особого» состояния, то для t е (tn, tn+1) имеет место непрерывное изменение состояния агрегата

причем g(tn) — последний управляющий сигнал, поступивший в момент t < tn. Заметим, что обозначение U(toc) указывает на то, что вид оператора U зависит от того, каким было последнее особое состояние.

Рассмотренная математическая схема позволяет описывать широкий класс систем, поскольку в ней предусмотрены:

  • — наличие разных типов внешних сигналов (не только информационных х, но и управляющих g), что позволяет имитировать изменение алгоритма работы исследуемой системы;
  • — непрерывное изменение состояний системы z(t);
  • — скачкообразное изменение состояний системы z(t + 0);
  • — вероятностный характер реакции системы на внешние сигналы.

С помощью соотношений (2.1)—(2.5) можно описать процесс функционирования агрегата, а затем построить алгоритм, имитирующий этот процесс.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >