УНИВЕРСАЛЬНОСТЬ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ

Главная сила математики состоит в том, что вместе с решением одной конкретной задачи она создает общие приемы и способы, применимые во многих ситуациях, которые даже не всегда можно предвидеть.

М. Башмаков

Рассмотрим процессы колебаний в объектах различной природы. Покажем, что, несмотря на разную сущность объектов, они описываются одними и теми же математическими моделями.

Движение шарика на пружине

Рассмотрим движение шарика, присоединенного к пружине с жестко закрепленным концом (рис. 2.1).

Шарик на пружине

Рис. 2.1. Шарик на пружине

Пусть х — координата шарика вдоль оси пружины, лежащей на горизонтальной плоскости, и направление движения шарика совпадает с осью х. Тогда по второму закона Ньютона

где т — масса шарика; а — его ускорение. Плоскость считается идеально гладкой, т. е. движение происходит без трения. Скорость шарика относительно мала, поэтому сопротивлением воздуха можно пренебречь. Вес шарика уравновешивается реакцией плоскости. Единственная сила, действующая на шарик в направлении оси х, есть сила упругости пружины. Пусть смещение шарика относительно положения равновесия х = 0 мало. Тогда по закону Гука для растяжения (сжатия) пружины необходимо приложить силу

где коэффициент к > 0 характеризует упругие свойства пружины. Подставляя (2.2) в (2.1), получим уравнение гармонического осциллятора

где со = (к/т)1/2 — собственная частота колебаний системы «пружина — шарик».

Общее решение уравнения (2.3) имеет вид

Значения А и В определяются из начального состояния шарика, т. е. через величины х(0) = х0 и v(0) = v0 (v(t) — скорость шарика).

Простейшая модель изменения зарплаты и занятости

В простейшем случае рынок труда представляет собой взаимодействие работодателей и наемных рабочих. Он характеризуется зарплатой s(t) и числом занятых iV(t). Пусть на нем существует равновесное состояние, когда за плату s0 > 0 согласны работать N0 > 0 человек. Если по каким-то причинам это состояние нарушается (например, часть работников уходит на пенсию или у предпринимателей возникают финансовые трудности), то функции s(t) и N(t) отклоняются от значений s0, N0. Будем считать, что скорость изменения зарплаты пропорциональна отклонению численности занятых от равновесного значения. Тогда

Далее предположим, что скорость изменения числа работников также пропорциональна росту или уменьшению зарплаты относительно значения s0. Тогда запишем

Дифференцируя уравнение (2.4) по t и исключая из него с помощью уравнения (2.5) величину N, приходим к уравнению

Мы получили уравнение гармонического осциллятора (2.3), которое описывает колебание заработной платы относительно положения равновесия (аналогичное уравнение может быть получено и для величины N(0). При этом со = (а1а2)1/2.

Построенные в данной главе модели в одном случае основаны на точно известных законах (параграф 2.1), в другом — на наблюдаемых фактах и реалистичном представлении о характере объекта (параграф 2.2). Хотя и сущность рассмотренных явлений, и подходы к получению отвечающих им моделей различны, построенные модели оказались идентичны друг другу. Это говорит о важном свойстве математических моделей — их универсальности. Универсальность математических моделей отражает единство окружающего нас мира и способов его описания. Это свойство широко используется при изучении объектов самой разнообразной природы. Например, предложенная А. Н. Колмогоровым [1] обобщенная модель взаимодействия биологических видов может быть использована для описания поведения конкурирующих фирм, роста народонаселения, численности воюющих армий, изменения экологической обстановки, развития науки и пр.

Контрольные вопросы

  • 1. В чем проявляется свойство универсальности математических моделей?
  • 2. Как можно объяснить универсальность математических моделей?
  • 3. Что общего между поведением грузика на пружинке и соотношением зарплаты и занятости?

Литература

  • 1. Колмогоров, А. Н. Качественное изучение математических моделей динамики популяций / А. Н. Колмогоров // Проблемы кибернетики. — Москва : Наука, 1972. Вып. 25. С. 101—106.
  • 2. Самарский, А. А. Математическое моделирование. Идеи. Методы. Примеры / А. А. Самарский, А. П. Михайлов. — Москва : Физматлит, 2001.
 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >