Оптимизация передаточных чисел ступеней двухступенчатого цилиндрического редуктора

Формулировка задачи. Для редуктора, выполненного по развернутой схеме (рис. 5.4), с целью обеспечения условия смазки колес окунанием рекомендуется назначать передаточное число быстроходной ступени, равное

где q — коэффициент; и — передаточное число редуктора [110].

Схема двухступенчатого цилиндрического редуктора

Рис. 5.4. Схема двухступенчатого цилиндрического редуктора:

1 —4 — зубчатые колеса

Требуется определить оптимальные значения коэффициента q и передаточных чисел и12 и п34по условию контактной прочности зубьев колес при заданном и = и12и34.

Решение. Критерий оптимальности установим при рассмотрении схемы зацепления (рис. 5.5). На схеме показано зацепление колес с ul2 = 1 и изл = и (отмечено штрихом) и зацепление с ul2 > 1 (без штриха). Увеличение и12 ведет к уменьшению объема масла и высоты корпуса, т. е. к экономии материалов. Ясно, что и12 при возрастании достигает какой-то оптимальной величины. Это видно по результатам простого расчета, например для и = и12изл = 8 (табл. 5.11).

Критерием оптимальности можно принять минимум суммы и12 + + и34 = 5,64, который определяет оптимальные передаточные числа и12 = изл = V8 = 2,82. При этом q = 1, так как не учтены ограничения.

Итак, в качестве критерия оптимальности при разбивке передаточного числа редуктора принимаем минимум суммы передаточных чисел ступеней:

Схема зацепления

Рис. 5.5. Схема зацепления:

h, h' — высоты уровней масла

Таблица 5.11

Выбор критерия оптимальности при и = 8

“12

1

2

78=2,82

3

4

8

я

0,35

0,70

1,00

1,05

1,40

2,80

“34

8

4

2,82

2,66

2

1

“12 + “34

9

6

5,64

5,66

6

9

Заменив и34 = и/ии, получим окончательно

По аналогии с (5.7.4) запишем зависимости для межосевых расстояний awl и aw2:

Заменим в уравнении (5.9.2) Т2 = Т434 и преобразуем (5.9.2) и (5.9.3):

где Aj = .

ЖЬа^нр

Заменим в формулах (5.9.4) и (5.9.5) и34 = и/и12:

Сложим по частям (5.9.6) и (5.9.7):

ГДеи1=^ + ^;и2 = и1/3+^-

Из выражений (5.9.1) и (5.9.8) сформируем геометрическую программу, предварительно преобразовав (5.9.8) в ограничение с использованием гармонического обратного позинома (П2.20) с целью расширения двойственного пространства:

где С1 = 1; С2 = и; С3 = Awa2 /(А1и1);Сл = Aw(l-a)2 /(А^); г < а < < 1 - в (г — малое положительное число).

Двойственные ограничения:

Используем нормирование множителя Лагранжа в форме (4.11.7): откуда

Из системы двойственных ограничений найдем остальные двойственные переменные:

Все двойственные переменные положительны при е < D4 < 1 - е. Далее используем соотношения (4.5.1) и (4.5.2). Поделив первый член на второй в (5.9.9) и четвертый на третий в (5.9.10), найдем два выражения для q:

Оптимальные значения q, и12 и п34 найдем путем минимизации функции

при изменении D4 и а в установленных интервалах для различных значений и.

Программа расчета дана в приложении П1.22. В строку 260 введены передаточные числа редуктора, в строки 550—590 записаны зависимости (5.9.11)—(5.9.15), а также соотношения для иь и2, н12, п34. Интервалы изменения D4 и а и точность вычисления 10-4 записаны в строки 350 и 360. Строки 410—530 реализуют подпрограмму минимизации (5.9.16) по методу дихотомии. Строка 370 выводит на печать результаты расчета q, и12, и34 и погрешность минимизации F (табл. 5.12).

Таблица 5.12

Результаты расчета по программе П1.22

и

U12

U34

F

8

1,18

3,34

2,39

1,6 • 10-4

10

1,19

3,76

2,66

1,0 • 10^

12,5

1,20

4,24

2,95

8,0 • 10-5

16

1,21

4,83

3,31

6,2 • 10-5

18

1,21

5,15

3,50

7,5 • 10-5

20

1,22

5,45

3,67

1,5 • 10-4

25

1,23

6,14

4,07

7,9 • 10-5

28

1,23

6,53

4,29

5,4 • 10-5

31,5

1,24

6,96

4,53

1,4 • 10^

35

1,24

7,42

4,79

1,7 • 10-4

40

1,25

7,91

5,06

1,4 ? 10-4

Получили, что для всех двухступенчатых цилиндрических редукторов, выполненных по развернутой схеме, оптимальные значения

q = 1,18 н-1,25. Полученный интервал полностью соответствует принятому при расчете редукторов.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >