Примеры решения других задач

Приведем примеры решения некоторых задач, которые стали классическими и используются при изучении курса "Рынок ценных бумаг".

Рыночная стоимость финансовых инструментов

Задача 1. Определите цену размещения коммерческим банком своих векселей (дисконтных) при условии: вексель выписывается на сумму 1000000 руб. со сроком платежа 30 дней, банковская ставка – 12% годовых. Считать год равным 360 календарным дням.

Решение. При решении поставленной задачи необходимо учесть основной принцип, который выполняется при нор

мально функционирующем фондовом рынке. Он состоит в том, что на таком рынке доходность различных финансовых инструментов должна быть приблизительно одинаковой. Инвестор в начальный момент времени имеет некоторую сумму денег X, на которую он может:

• • либо купить вексель и через 30 дней получить 1000000 руб.;
• • либо положить деньги в банк и через 30 дней получить такую же сумму.

Доходность в обоих случаях должна быть одинаковой. В случае покупки векселя доход равен: D = 1000000 – X. Затраты составляют: Z = X.

Поэтому доходность за 30 дней равна

Во втором случае (банковский депозит) аналогичные величины равны

Отметим, что в данной формуле используется β – банковская ставка, пересчитанная на 30 дней и равная β= 12 • 30/360 = 1%.

Приравнивая друг другу доходности двух финансовых инструментов (d1 = d2), получаем уравнение для вычисления X:

Решая это уравнение относительно X, получим

Задача 2. Инвестор А купил акции по цене 20250 руб., а через три дня с прибылью продал их инвестору В, который в свою очередь, спустя три дня после покупки, с прибылью перепродал эти акции инвестору С по цене 59 900 руб. По какой цене инвестор В купил указанные бумаги у инвестора А, если известно, что оба этих инвестора обеспечили себе одинаковую доходность от перепродажи акций?

Решение. Введем обозначения:

Р1 – стоимость акций при первой сделке;

Р2 – стоимость акций при второй сделке;

Р3 – стоимость акций при третьей сделке.

Доходность операции, которую смог обеспечить себе инвестор А:

Аналогичная величина для операции, выполненной инвестором В:

По условию задачи dА = dB, или Р2/Р1 – 1 = Ρ?/Ρ2 – 1.

Отсюда получаем

Ответ данной задачи: Р2 = 34 828 руб.

Доходность финансовых инструментов

Задача 3. Номинальная стоимость акций АО – 100 руб. за акцию, текущая рыночная цена – 600 руб. за акцию. Компания выплачивает квартальный дивиденд в размере 20 руб. на акцию. Чему равна текущая доходность акций АО в годовом исчислении?

Решение. Обозначения, принятые в задаче:

N = 100 руб. – номинальная стоимость акции;

X = 600 руб, – рыночная цена акции;

Δ = 20 руб. – доход на акцию за квартал.

Текущая доходность в годовом исчислении dг определяется как частное от деления дохода за год D на затраты на приобретение данного финансового инструмента X:

Доход за год вычисляется как суммарный поквартальный доход: D = 4Δ = 4 • 20 = 80 руб.

Затраты на приобретение определяются рыночной ценой данного финансового инструмента X = 600 руб. Текущая доходность равна

Задача 4. Текущая доходность привилегированной акции, объявленный дивиденд которой при выпуске равен 11%, а номинальная стоимость – 1000 руб., в текущем году составила 8%. Корректна ли такая ситуация?

Решение. Обозначения, принятые в задаче:

N = 1000 руб. – номинальная стоимость акции;

q = 11% – объявленный дивиденд привилегированной акции;

dг = 8% – текущая доходность;

X = рыночная цена акции (неизвестна).

Приведенные в условии задачи величины связаны между собой соотношением

Можно определить рыночную цепу привилегированной акции, которая равна:

Таким образом, описанная в условиях задачи ситуация корректна при условии, что рыночная цена привилегированной акции составляет 1375 руб.

Задами 5. Как изменится в процентах к предыдущему дню доходность к аукциону бескупонной облигации со сроком обращения один год (360 дней), если курс облигации на третий день после проведения аукциона не изменится по сравнению с предыдущим днем?

Решение. Доходность облигации к аукциону (в пересчете на год) на третий день после сто проведения определяется по формуле

где X – аукционная цена облигации, % к номиналу;

Р – рыночная цена облигации на третий день после аукциона.

Аналогичная величина, рассчитанная на второй день, равна

Изменение в процентах к предыдущему дню доходности облигации к аукциону:

или 33,3333%.

Доходность облигации к аукциону уменьшится на 33,3333%.

Задача 6. Облигация, выпущенная сроком на три года, с купоном 8% годовых, продается с дисконтом 15%. Вычислить ее доходность до погашения без учета налогообложения.

Решение. Доходность облигации до погашения без учета налогообложения равна

где D – доход, полученный по облигации за три года;

Z – затраты на приобретение облигации; τ – коэффициент, пересчитывающий доходность на год. Доход за три года обращения облигации состоит из трех купонных выплат и дисконтного дохода при погашении. Таким образом, он равен

Затраты на приобретение облигации равны

Коэффициент пересчета доходности на год, очевидно, равен τ = 1/3. Следовательно,

Задача 7. Курс акций вырос за год на 15%, дивиденд выплачивался раз в квартал в размере 250 руб. за акцию. Определите полную доходность акции за год, если в конце года курс составил 11500 руб. Налогообложение не учитывать.

Решение. Доходность акции за год вычисляется по формуле

где D – доход, полученный владельцем акции;

Ζ – затраты на ее приобретение.

D вычисляется по формуле D = Δ + δ.

Здесь Δ – дисконтная часть дохода;

δ – процентная часть дохода.

При этом Δ = (Р1 – Р0),

где Р1 – цена акции к концу года;

Р0 – цена акций в начале года (отметим, что Р0 = Ζ).

Так как в конце года стоимость акции была равна 11 500 руб., причем рост курсовой стоимости акций составил 15%, то, следовательно, в начале года акция стоила 10000 руб. Отсюда получаем:

Δ = 1500 руб.,

δ = 250 • 4 = 1000 руб. (четыре выплаты за четыре квартала);

D = Δ + δ = 1500 + 1000 = 2500 руб.;

Ζ= Р0= 10000 руб.;

d = D/Z = 2500 :10000 = 0,25, или d = 25%.

Задача 8. Векселя со сроком платежа, наступающим через 6 месяцев от составления, реализуются с дисконтом по единой цене в течение двух недель от момента составления. Считая, что каждый месяц содержит ровно четыре недели, рассчитайте (в процентах) отношение годовой доходности но векселям, купленным в первый день их размещения, к годовой доходности по векселям, купленным в последний день их размещения.

Решение. Годовая доходность по векселям, купленным в первый день их размещения, равна

где D – доход по облигации, равный D = ΔN;

N – номинал облигации;

Δ – дисконт, % от номинала;

Z – стоимость облигации при размещении, равная Ζ=(1 -Δ)•N;

Δt – время обращения облигации, купленной в первый день ее выпуска (шесть месяцев).

Годовая доходность по векселям, купленным в последний день их размещения (через две недели), равна

где Δt – время обращения облигации, купленной в последний день ее выпуска (через две недели), равное 5,5 месяца.

Отсюда d1/d2 = 2 : 2,181818 = 0,9167, или 91,67%.

Задача 9. Инвестор купил, а затем продал акции, получив при этом доходность в размере 9%. Какую доходность получил бы инвестор, если бы цена покупки акций была на 8% больше?

Решение. Доходность операции по купле-продаже ценных бумаг определяется по формуле

где D – доход, полученный по акции и равный В = Рпр – Рпок;

Рпок – цена покупки акции;

Рпр – цена продажи акции.

Требуется определить, чему равняется доходность

при условии, что d2 = (Рпр – Рпок) / Рпок = 0,09.

Можно преобразовать d2 к виду d2 = (Рпр/Рпок – 1) = 0,09.

Отсюда получаем Рпр /Рпок = 1,09.

Преобразуем d1 к виду d1 = Рпр/(Рпок • 1,08) – 1.

Учитывая выражение для Рпр/Рпок, получаем формулу

d1 = (1,09 :1,08 – 1) = 1,009259 – 1 = 0,009259, или d1 = 0,9259%.

Инвестиционный портфель

Задача 10. Инвестор приобрел 10 акций (три акции компании А, две акции компании Б и пять акций компании В с равными курсовыми стоимостями). Спустя три месяца совокупная стоимость указанного пакета акций увеличилась на 20%. При этом курсовая стоимость акций компании В уменьшилась на 40%, а курсовая стоимость акций компании А стала в два раза больше курсовой стоимости акций компании Б. Укажите, на сколько процентов увеличилась курсовая стоимость акций компании Б.

Решение. Исходная стоимость инвестиционного портфеля равна

Через три месяца стоимость инвестиционного портфеля стала равной

Данное выражение можно преобразовать к виду

Из условия задачи известно, что курсовая стоимость акций компании А стала в два раза больше курсовой стоимости акций компании Б. Таким образом, справедливо соотношение

В этом случае, подставляя последнее выражение в уравнение для конечной стоимости инвестиционного портфеля, получаем формулу

Отсюда получаем уравнение, решая которое, найдем

Таким образом, курсовая стоимость акций компании Б возросла на 12,5%.

Задача 11. Какая схема вложения денежных средств представляется наиболее выгодной:

• 1) вложение денежных средств на один день под 1% годовых с последующим ежедневным реинвестированием денежных средств на таких же условиях в течение месяца;
• 2) вложение на 10 дней под 8% годовых с последующим реинвестированием полученных денежных средств каждую декаду в течение месяца;
• 3) вложение на один месяц под 12% годовых.

В задаче принять, что в году 360 дней и в месяце 30 дней. Налогообложение не учитывать.

Решение. Имея денежные средства в объеме Х0 руб. и используя предложенные схемы, через месяц получаем:

• • по первой схеме Х1 = Х0(1 + 0,07: 360)30 = Х0 •1,0058;
• • по второй схеме Х2 = X0(1 + 0,08: 36)3 = Х0 • 1,0058;
• • по третьей схеме Х3 = Х0(1 + 0,12 : 12) = Х0 • 1,01.

Таким образом, наиболее выгодной является третья схема вложения денежных средств.

Задачи на инфляцию

Задача 12. Инфляция в месяц равна 0,7%. Какова инфляция за год?

Решение. Зная инфляцию за месяц, инфляцию за год можно вычислить по формуле (1 + 0,007)12 = (1+ γ).

Отсюда получаем у = 0,087, или инфляция за год равна 8,7%.

Задача 13. Среднемесячная инфляция уменьшилась с 0,6 до 0,5%. Насколько изменится инфляция в пересчете на год?

Решение. Зная инфляцию за месяц (ζ), инфляцию за год (γ) можно вычислить по формулам: (1 + 0,006)12 = (1 + γ1) – в случае инфляции, равной 0,6%, (1 + 0,005)12 = (1 + γ2) – в случае инфляции, равной 0,5%. Получаем у, = 0,074, или у, = 7,4% годовых и γ2 = 0,062, или γ2 = 6,2% годовых. Отсюда уменьшение инфляции в пересчете на год составляет 1,2%.