Дифференциальные уравнения Эйлера для однофазного потока идеальной жидкости (газа) в статике

В объеме жидкости, находящейся в покое, выделим элементарный параллелепипед dV с ребрами dx,dy,dz (рис.6.3.). Сила тяжести, действующая на параллелепипед, выражается произведением его массы dm на ускорение свободного падения g.

Сила гидростатического давления на любую из граней параллелепипеда равна произведению давления р на площадь этой грани. Будем считать, что давление р является функцией всех трех координат p=f(x,y,z). Выяснение вида этой функции (т.е. закона распределения гидростатического давления по объему жидкости) и является нашей задачей [3,4, 6].

Как известно, в статике сумма проекций всех сил на оси координат, действующих на элементарный объем, равна нулю. В противном случае происходило бы перемещение жидкости.

Рассмотрим сумму проекций сил на ось z. Сила тяжести направлена вниз, параллельно оси z, поэтому она будет проектироваться на эту ось со знаком минус:

Сила гидростатического давления р действует на нижнюю грань параллелепипеда по нормали к ней, и её проекция на ось z равна pdxdy. Если изменение гидростатического давления в данной точке в направлении оси

z равно ^, то по всей длине ребра dz это изменение составит — dz.

dz dz

К выводу дифференциальных уравнений Эйлера в статике

Рис.6.3. К выводу дифференциальных уравнений Эйлера в статике

Тогда гидростатическое давление на противоположную (верхнюю) грань равно + а проекция силы гидростатического давления на ось z

равна

Проекция равнодействующей силы давления на ось z составит:

или

Сумма проекций сил тяжести и гидростатического давления на ось z равна нулю:

Так как проекции сил тяжести на оси х и у равны нулю, поэтому сумма проекций сил на ось х и у:

откуда находим или

Таким образом, для элементарного параллепипеда условие равновесия (в статике) имеет вид:

где р - гидростатическое давление на грани; р - плотность жидкости; g - ускорение свободного падения

Это дифференциальное уравнение Эйлера при равновесии (статике) жидкости.

Для получения закона распределения давления по всему объему покоящейся жидкости следует проинтегрировать это уравнение, которое является основным уравнением гидростатики, широко используемым в инженерной практике.

Из последнего уравнения следует, что давление находящейся в статике жидкости изменяется только по вертикали (вдоль оси z рис.6.3). В

др др

связи с тем, что частные производные — и — равны нулю, частная про-

дх ду

др _ dp

изводная — может быть заменена на полную производную — и, следо- dz dz

вательно,

или

Для несжимаемой однородной жидкости плотность (р) постоянна, тогда последнее уравнение можно представить в следующем виде:

или

отсюда после интегрирования получим:

Это основное уравнение гидростатики. Первый член уравнения - геометрический напор, второй член - статический (или пьезометрический) напор, характеризующий потенциальную энергию жидкости, приходящуюся на единицу веса жидкости. Из уравнения следует, что сумма статического и геометрического напоров для поверхностей любого уровня постоянна и выражает полный гидростатический напор (в м).

Для двух произвольно выбранных горизонтальных плоскостей 1 и 2 это уравнение имеет в вид:

где z,z-i - высоты расположения двух точек внутри покоящейся однородной капельной жидкости над произвольно выбранной горизонтальной плоскостью отсчета; р.рг - гидростатические давления в этих точках.

Из основного уравнения гидростатики можно получить известное уравнение Паскаля:

Это уравнение позволяет рассчитать давление в любой точке объема жидкости и является выражением общего закона гидростатики, который формулируется следующим образом: давление в любой точке покоящейся жидкости (в данной горизонтальной плоскости) складывается из внешнего давления ро и давления столба жидкости pgh. Давление столба жидкости pgh высотой h (от поверхности до данной точки) и площадью основания, равной единице.

Закон гидростатики в такой формулировке справедлив для всех жидкостей, газов и их смесей.

Уравнение Паскаля широко используют при расчете различных гидростатических приборов и машин.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >