Уравнение Бернулли для установившегося потока

Решение уравнений движения Эйлера для установившегося потока (6.3) и (6.4) приводит к одному из наиболее важных и широко используемых уравнений гидродинамики -уравнению Бернулли.

Умножив левые и правые части каждого из уравнений (6.3) соответственно на dx, dy, dz и разделив на плотность жидкости р, получим:

где и fk - проекции скоростей coD Шу, со, на соответствующие оси координат.

dt dt di

Сложив эти уравнения, получим:

Левую часть уравнения можно представить:

где со = |*у| — величина вектора скорости, составляющие которой вдоль соответствующих осей равны со» (Оу, со..

Сумма членов, стоящих в скобках, правой части уравнения (6.6), представляет собой полный дифференциал давления dp. Давление при установившихся условиях зависит лишь от положения точки в пространстве, но не меняется со временем. Поэтому уравнение (6.6) приводится к виду:

Разделив обе части этого уравнения на ускорение силы тяжести g, находим:

или

откуда после интегрирования получим

Уравнение (6.7) для любых двух поперечных сечений 1 и 2 потока жидкости в трубопроводе имеет вид:

Величину z + -Р— + — называют полным гидродинамическим

V PS 2gJ

напором (или просто гидродинамическим напором).

Следовательно, согласно уравнению Бернулли, для всех поперечных сечений установившегося потока идеальной жидкости величина гидродинамического напора остается неизменной.

Гидродинамический напор включает три слагаемых, из которых первые два (z и ), входили в основное уравнение гидростатики, z - гео- Pg

метрический напор (положение в данной точке); —— пьезометрический

Pg

напор; третье слагаемое - скоростной или динамический напор (ха- 2 g

рактеризует удельную кинетическую энергию в данной точке).

При изменении поперечного сечения трубопровода и соответственно скорости движения жидкости происходит превращение потенциальной энергии в кинетическую (при сужении трубопровода) и, наоборот, - часть кинетической энергии переходит в потенциальную (при расширении трубопровода). Но общее количество энергии остается постоянным. Отсюда следует, что для идеальной жидкости количество энергии, поступающей с потоком через начальное сечение трубопровода, равно количеству энергии, удаляющейся с потоком через конечное сечение трубопровода.

Таким образом, уравнение Бернулли является частным случаем закона сохранения энергии и выражает энергетический баланс потока.

Для горизонтального трубопровода (рис.6.4) уравнение Бернулли может быть упрощено. При проведении плоскости сравнения (0 - 0) по оси потока (z = 0) уравнение (6.7) примет вид:

Г идродинамический напор Н (сумма потенциальной и кинетической энергий потока) для реальной жидкости величина переменная, так как жидкость на своем пути встречает местные сопротивления (в виде вентилей, кранов, поворотов и т.п.), приводящих к изменению сечений или направления потока. На преодоление этих сопротивлений расходуется энергия движущейся жидкости, превращающаяся в тепло. Это тепло идет на нагрев потока и рассеивается в окружающую среду. Поэтому во всяком последующем сечении (II - II) потока (рис.6.5) энергия движущейся частицы будет меньше, чем а предыдущем (I -1), т.е.

При этом часть гидродинамического напора переходит в разного рода потери напора Ар0 (рис. 6.5). Из рис. 6.5 видно, что в сечениях I - I и II - II имеют место неравенства: pi <рг о) > о)2 z > Z2.

Очевидно, что для того чтобы сохранить равенство напоров (или энергий) в любом сечении реального потока, необходимо в правую часть уравнения Бернулли (6.8) добавить член, учитывающий потери напора

(Лп):

или

т.е. при установившемся движении вязкой жидкости в каждом сечении потока сумма геометрического, пьезометрического и динамического напоров, а также напора потерь есть величина постоянная и равная общему гидродинамическому напору Н.

К выводу уравнения Бернулли для горизонтального потока

Рис. 6.4. К выводу уравнения Бернулли для горизонтального потока: 1 - трубопровод; 2 - пьезометрическая трубка для измерения суммарного напора (статического и скоростного)

Рис.6.5. К объяснению физического смысла уравнения Бернулли

Напор hn включает две составляющие - потери напора на трение и на преодоление местных сопротивлений /?мс (повороты, сужения, расширения, вентили, краны и т.д.)> т.е.

Расчет величин и Имс рассмотрен ниже.

С помощью уравнения Бернулли можно определить необходимый напор (или давление) для того, чтобы жидкость с заданной скоростью транспортировалась по данному каналу (трубопроводу), скорость и расход жидкости, время истечения жидкости из отверстия в резервуаре.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >