Соотношение неопределенностей координата — импульс

Проведем такой мысленный опыт. Электрон пролетает через малое отверстие (рис. 9.5). Направим вверх ось х, а диаметр отверстия обозначим через <2 или Ах. Если это (I = Ах достаточно мало, то электрон может дифрагировать (отклониться от прямолинейного движения) на угол а порядка Л./с?.

Пусть вначале, до отклонения вследствие дифракции, импульс электрона был р0. После дифракции он полетел под углом а, т. е. его импульс стал р. Это значит, что к вектору р0 добавился некоторый импульс Дрх вдоль оси х. Причем в одних случаях эта добавка Дрх больше, в других меньше и может менять знак, если электрон дифрагирует вниз. Так что Дрх — это некоторая неопределенность в импульсе вдоль оси х. Отношение

Рис. 9.5

В то же время мы знаем, что электрон пролетал через отверстие шириной Дх, но не знаем, через какую именно точку он пролетел. Это означает неопределенность координаты х.

Чем меньше отверстие Дх, тем больше углы дифракции а, которые всегда - /<1, т. е.

Используя формулу де Бройля р = Ь/Х и уравнения (9.5) и (9.6), можно получить соотношение

Неопределенности импульса и координаты обратно пропорциональны друг другу. Чем точнее определена координата (меньше отверстие Дх), тем сильнее дифракция (больше углы а, больше неопределенность в импульсе Дрх) и наоборот, чем точнее определен импульс, тем менее точно можно определить координату, так как это означает пролетание через большое отверстие Дх.

Соотношение (9.7) называется соотношением неопределенностей координатаимпульс Гейзенберга.

Аналогичные соотношения существуют и для других величин, описывающих поведение микрочастиц.

Соотношение неопределенностей энергия частицы в некотором состоянии — время жизни в этом состоянии

Из раздела 8 главы 2 тома 1 мы знаем, что длительность существования волнового пакета Д1 (время жизни осциллятора) связана с неопределенностью частоты в спектре Дсо соотношением

В случае, когда затухание незначительно, ДI велико, колебания почти гармонические и в спектре будет довольно узкая линия небольшой ширины До (см. рис. 2.79). Если же колебания осциллятора затухают быстро, Д1 мало (мало время жизни осциллятора), колебания мало похожи на гармонические, и в спектре линия становится широкой, Дю велико.

Обратимся теперь к квантовой системе, например к электрону, колеблющемуся в атоме. Умножим обе части соотношения (9.8)

на Й = Н/2п:

Здесь А( h со) — неопределенность в величине кванта энергии колебаний Е, a At — неопределенность во времени существования осциллятора, иными словами — время жизни осциллятора т. Можно показать, что const в (9.9)

Рис. 9.6

равна h . Окончательно получаем

Эта формула носит название соотношения неопределенностей энергия — время жизни.

На рисунке 9.6 по числовой оси вверх отложены значения энергии осциллятора. Предположим, что имеются два состояния с энергиями Е1 и Ег Пусть в состоянии Е2 система живет долго (случай а). Это значит, что время жизни т системы в этом состоянии велико. Тогда согласно (9.10) неопределенность в значении энергии ДЕ в этом состоянии мала и поэтому уровень энергии изображен узким. Если же система недолго живет в состоянии с энергией Е2, то уровень энергии следует изобразить широким (большая неопределенность в энергии) — случай Ь на рисунке 9.6.

Переход с более высокого уровня на более низкий означает излучение кванта энергии. Мы видим, что неопределенность в энергии излучаемого кванта (а следовательно, в частоте излучаемого света) больше при малом времени жизни в исходном состоянии.

Из последних двух тем можно сделать такой вывод. Попытки использовать для описания поведения микрочастиц таких переменных, как координата, импульс, энергия, наталкиваются на невозможность одновременно точно указать эти величины. Существует ли способ точного описания этих объектов? Положительный ответ был дан в 1926 г. Шредингером и другими создателями квантовой механики.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >