Синтаксис пропозициональной модальной логики

Следует озаботиться тем, чтобы математические знаки были удобными для открытий...

Г. В. Лейбниц

Определение.

Алфавитом модальной пропозициональной логики назовём множество знаков

элементы которого будем называть буквами.

Буквы подразделяются на следующие категории:

  • 1) прописные и строчные буквы латинского алфавита (возможно с индексами) называются пропозициональными переменными (или атомами);
  • 2) буквы -I (читается: «отрицание»), & («конъюнкция»), v («дизъюнкция»), —> («материальная импликация»), («материальная эквиваленция») называются логическими связками (операторами, символами);
  • 3) буквы ? (читается: «знак необходимости»), 0 (читается: «знак возможности») называются модальными связками;
  • 4) буквы ( (читается: «открывающая (левая) скобка») и ) («закрывающая (правая) скобка») называются вспомогательными знаками (буквами).

Модальные формулы строятся из счётного числа пропозициональных переменных, логических связок, одноместных модальных связок и круглых скобок по следующему индуктивному определению.

Определение.

  • 1. Атомы являются модальными формулами.
  • 2. Если А — модальная формула, то -iАмодальная формула.
  • 3. Если А и В — модальные формулы, то слова (А & Б), (A v Б), (А —> Б), (А <-> Б) являются модальными формулами.
  • 4. Если А — модальная формула, то слова пА и ОА являются модальными формулами.
  • 5. Других формул, кроме перечисленных в пункте (1) и построенных по правилам пунктов 2—4, нет.

Приоритеты логических связок располагаются в порядке убывания следующим образом: -i, ?, 0, &, v, —

Замечание [122, с. 242—243].

Связки -1, &, v, —о классической логики относятся к экстенсиональным логическим операторам, для которых логическое значение образованного с их помощью сложного высказывания однозначно определяется логическими значениями его компонентов.

Однако существуют и не экстенсиональные операторы к которым, в частности, относятся модальные операторы ? и 0.

Определение.

def

Языком модальной логики назовём кортеж LM = (Ам, FM>, где Ам— алфавит, а FM множество модальных формул.

Отметим, что логические связки &, v, а также модальные связки ? и 0 можно ввести в модальную логику как сокращения.

Определение.

def def

1) р v q = —.р & —.q), р -> q = -i (р & —>q),

def

P^q = (p-»q) & (q —>p);

def

2) Op = —)?—ip (если модальная связка ? уже определена);

def

?р = —10—ip (если модальная связка 0 уже определена). Определение.

def

1) р => q - —,0 (р & —iq) (=>«строгая импликация»);

def

2) р <=> q = (р => q) & (q => р) (<=> — «строгая эквиваленция»);

def def

3) VA = 0А & 0—A; VA = —idA & -i?—А (V — «знак случайности»).

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >