Теорема Польке

Выше было отмечено, что основная теорема аксонометрии, гласящая, что три произвольно выбраннъис отрезка на плоскости, выходящие из одной точки, могут быть приняты за параллельные проекции трех равных и взаимно перпендикулярных отрезков, выходящих из некоторой точки пространства, была впервые предложена геометром Польке. Доказательство своей теоремы Польке обосновал, базируясь на фокальных свойствах поверхностей второго порядка. Вывод теоремы Польке оказался очень сложным и недоступным для основной массы лиц, изучающих курс аксонометрии. Профессор Московского университета А. К. Власов предложил очень простое доказательство теоремы Польке, которое и приводится ниже. Это доказательство заимствовано из журнала «Математический сборник» (1925 г.), в котором была помещена статья профессора А. К. Власова под заголовком «Новое доказательство теоремы Pohlke».

Доказательство теоремы Польке. Пусть оа, оЪ, ос — три произвольных отрезка в плоскости чертежа, выходящие из одной точки о, и ОА, ОВ, ОС — три равных и взаимно перпендикулярных отрезка пространства, выходящие из точки О (рис. 15). Треугольник АВС — равносторонний. Покажем, что можно подобрать такое направление проецирующих лучей и такую плоскость а, что проекцией треугольной пирамиды ОАВС будет фигура О'А'В'С' на плоскости а, подобная фигуре oabc. Уменьшив или увеличив соответственным образом отрезки ОА, ОВ, ОС, не нарушая их равенства, можно получить в проекции этой измененной пирамиды фигуру, равную данной фигуре oabc, и таким образом теорема Польке будет доказана. Итак, доказательство рассматриваемой теоремы можно разбить на две части:

  • а) определение направления проецирующих лучей;
  • б) определение положения плоскости проекций а относительно проецирующих лучей.

Рис. 15

а) Определение направления проецирующих лучей

Продолжим один из данных отрезков ос до пересечения со стороной ab в точке к, которая, как принадлежащая двум прямым ab и со, должна быть проекцией двух различных точек К и F пространства, лежащих на соответствующих прямых АВ и СО. Эти две точки можно найти, так как по свойству параллельной проекции должны иметь место пропорции

Найдя точки К и F, тем самым определим направление проецирующих лучей по отношению к пирамиде ОАВС; прямая KF является одним из проецирующих лучей, дающим в проекции одну точку. Проецируя лучами этого направления пирамиду ОАВС на какую-нибудь плоскость, получим в проекции некоторый АА1В1С1 с точкой Оъ причем прямая С101 пересечет сторону А±Вг в точке Кь удовлетворяющей пропорциям:

Тем же соотношениям удовлетворяет и данный Aabc с точкой о. Но при произвольном положении плоскости проекций АА1В1С1, вообще говоря, еще не будет подобным A abc.

б) Определение положения плоскости проекций а относительно

проецирующих лучей

Выберем теперь плоскость проекций так, чтобы в проекции получился АА'В'С ~ A abc. Опишем около треугольника abc окружность, и пусть z есть центр этой окружности. Линии аz,bz, сz пересекут стороны Aabc соответственно в точках I, т, п. На сторонах ААВС найдутся соответственные точки L, М, N:

следовательно, в плоскости ААВС найдется соответствующая точка Z. Можно описать около ААВС эллипс с центром в точке Z. Точка Z занимает такое положение, что эта задача вполне возможна.

Проецирующие лучи уже определенного направления, проходящие через точки этого эллипса, образуют эллиптический цилиндр. Этот цилиндр можно пересечь плоскостью так, что в сечении получится окружность. Центр этой окружности Z' лежит на оси цилиндра, проходящей через точку Z. Плоскость этого кругового сечения и будет искомой плоскостью а. В самом деле, пусть АА'В'С' — проекция ААВС на этой плоскости а.

АА'В'С' вписан в окружность с центром в точке Z', полученную в пересечении эллиптического цилиндра плоскостью а, и пусть точки L', М', N' будут проекциями точек L, М, N. По свойству параллельной проекции

A'Z' — радиус окружности, описанной около АА'В'С'. Из этих пропорций следует, что

Действительно, пусть и

Предшествующие пропорции (11) принимают вид

Из равенства (10) следует:

Следовательно, из уравнений (12) и (13)

Кроме того,

Следовательно,

Хорды Ьс и В'С окружностей, описанных соответственно около AаЪс и АА'В'С', проходят через точки I и L, отстоящие от соответствующих центров на расстояния s и S'. Следовательно,

Из уравнений (13) и (16) имеем: или

Но по уравнению (14)

Следовательно, из уравнений (17) получаем:

Но

следовательно,

Из уравнений (15) и (18) имеем:

т. е. стороны Abzl и AB'Z'l! пропорциональны, и стало быть эти треугольники подобны.

Так же можно доказать, что и

Из подобия этих треугольников следует и подобие треугольников abc и А'В'С, т. е. АаЪс ~ АА'В'С, что и требовалось доказать.

Таким образом, видим, что теорема Польке доказана профессором Власовым с исчерпывающей ясностью при исключительной простоте поясняющих рассуждений.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >