Оценка риска и доходности портфеля

Доходность портфеля напрямую зависит от ожидаемых доходностей входящих в него активов и удельного веса (доли) каждого из них в его структуре. Таким образом, это просто средняя взвешенная величина из соответствующих доходностей отдельных активов. Рассмотрим следующий пример [16].

Пример 8.1

Пусть портфель сформирован из двух рисковых активов, например акций фирм «А» и «В», характеристики которых представлены в табл. 8.1. Определить доходность и риск портфеля «АВ>>.

Таблица 8.1

Характеристики портфеля «АВ»

Состав

Доходность

R, %

Риск

а, %

Доля в портфеле

Актив «А»

5

20

2/3

Актив «В»

15

40

1/3

Доходность данного портфеля может быть определена по формуле

где ХА, Хв — доля соответствующего актива в портфеле; RA, RB — средняя ожидаемая доходность активов «А» и «В».

Для рассматриваемого примера средняя ожидаемая доходность портфеля будет равна:

Как и для отдельного актива, риск портфеля измеряется показателями, характеризующими изменчивость его доходности, например дисперсией — а2 или стандартным отклонением — о.

Однако помимо индивидуальных рисков отдельных активов и доли каждого из них в структуре портфеля на его совокупный риск значительное влияние будет также оказывать степень зависимости доходности включенных активов друг от друга. Поэтому расчет риска портфеля как среднего взвешенного из рисков составляющих его активов будет некорректным, так как приведет к игнорированию возможных взаимосвязей между изменениями их доходности.

Для оценки взаимосвязи изменений двух переменных в теории вероятностей и математической статистике используются два показателя: ковариация и корреляция.

Ковариация характеризует взаимную изменчивость двух показателей. Формула для определения ковариации доходностей двух активов «А» и «В» будет иметь следующий вид:

Положительная ковариация означает, что доходности двух активов изменяются в среднем в одном направлении, а отрицательная — в противоположном.

Понятие корреляции показателей аналогично понятию их ковариации. Коэффициент корреляции является производным показателем от ковариации и вычисляется делением последнего на произведение соответствующих стандартных отклонений:

Коэффициент корреляции принимает значение в фиксированном диапазоне от -1 до +1 и поэтому более удобен и нагляден в интерпретации.

Если значение р = 1 (полная положительная корреляция), это означает существование линейной зависимости между изменениями двух показателей. Нетрудно заметить, что доходность любого актива полностью положительно коррелирована сама с собой.

В случае р = -1 (полная отрицательная корреляция) — между изменениями показателей существует обратная линейная взаимосвязь.

Если р = 0 (отсутствие корреляции), то считается, что показатели изменяются независимо друг от друга.

Понятия ковариации и корреляции играют важнейшую роль в определении риска портфеля и теории инвестиций в целом. В частности, с учетом возможных взаимосвязей доходностей риск портфеля из двух активов «А» и «В» может быть определен по следующей формуле:

Выражение Рав^а^в в соотношении (8.4) есть не что иное, как ковариация между доходностями активов «А» и «В», где р^ — коэффициент корреляции.

Определим риск портфеля «АВ» из рассматриваемого примера:

Как следует из полученного результата, риск портфеля непосредственно зависит от значения коэффициента корреляции. Однако последний никак не влияет на его доходность.

Рассмотрим три важных частных случая, используя данные примера 8.1.

1. При р = 1 (полная положительная корреляция) риск портфеля из двух активов будет равен:

Таким образом, в данном случае риск портфеля зависит только от риска и доли каждого актива, входящего в портфель.

В частности, для нашего примера, риск портфеля будет равен:

Этот же результат мог быть получен из соотношения (8.5):

2. При р = 0 (независимость изменения доходностей активов) риск портфеля из двух активов равен:

Таким образом, в данном случае риск портфеля уменьшается на величину последнего слагаемого в уравнении (8.4.). При этом средняя доходность портфеля остается неизменной.

Для нашего примера риск портфеля при р^ = 0 будет равен:

3. При р = -1 (полная отрицательная корреляция) риск портфеля из двух активов будет равен:

Таким образом, в данном случае риски отдельных активов в портфеле уравновешивают друг друга. Более того, при определенной структуре портфеля его риск, связанный с риском отдельных активов, может быть полностью устранен.

В частности, для нашего примера, риск портфеля будет равен:

Для определения структуры портфеля, приводящей к полному устранению риска, выразим долю актива «В» через актив «А». Поскольку общая сумма долей каждого актива в портфеле должна быть равна единице или 100 %, имеем: Хв = (1 - ХА). Подставив полученное выражение в соотношении (8.7), получим:

Для портфеля «АВ» доля актива «А» составит: 0,4 / (0,2 + 0,4) = = 0,667 или 2/3. Доля второго актива будет равна: (1 - 0,667) = = 0,333 или 1/3, что соответствует условиям примера.

На практике доходности активов, как правило, имеют положительную корреляцию. В общем случае при 0 < р < 1 доля инвестиций в актив «А», которая минимизирует риск портфеля из двух активов, определяется по формуле

Соответственно:^ = 1 А.

Полученные результаты позволяют сделать ряд важных выводов:

  • • при отсутствии полной положительной корреляции между доходностями активов (р < 1) риск сформированного из них портфеля будет всегда меньше средней взвешенной рисков отдельных активов;
  • • в случае полной отрицательной корреляции между доходностями активов (р = -1) риск сформированного из них портфеля может быть сведен к нулю;
  • • если доходности активов сильно коррелированы между собой (р = 1), формирование портфеля не приводит к снижению риска.

Полученные результаты могут быть обобщены для произвольного количества рисковых активов. Формулы для определения ожидаемой доходности и риска портфеля из п активов имеют следующий вид:

Альтернативный способ записи формулы (8.11) наглядно показывает, что портфельный риск состоит из двух различных компонент или слагаемых. Первое слагаемое — это риск, связанный только с изменчивостью (дисперсиями) доходностей отдельных активов. Этот риск называется несистематическим или уникальным риском, присущим отдельным активам или предприятиям.

Примерами несистематических рисков могут служить:

  • • утрата активов, ключевых поставщиков и клиентов, персонала и т. п.;
  • • падение спроса или цен на продукцию предприятия;
  • • неудачная реализация новых проектов;
  • • неэффективный менеджмент;
  • • судебные разбирательства, забастовки и т. п.

Второе слагаемое в соотношении (8.11) определяет риск, связанный с взаимосвязью (корреляцией или ковариацией) между взаимными изменениями доходностей активов, включенных в портфель. Данному риску в большей или меньшей степени подвержены все хозяйствующие субъекты. Поэтому его называют систематическим или рыночным. Основными причинами этого риска могут быть:

  • • спад или кризис в экономике страны;
  • • политическая нестабильность;
  • • резкие изменения в законодательстве, финансовой (налоговой, денежной, бюджетной и т. п.) политике государства;
  • • инфляция, колебания процентных ставок и др.

Необходимость разделения риска на несистематический

и систематический заключается в том, что эти виды риска ведут себя по-разному, когда количество активов, включаемых в портфель, увеличивается.

Предположим, что все активы в портфеле независимы между собой (все Ру = 0) и имеют одинаковые веса (Xt 1 / п). Тогда формула (8.11). примет следующий вид:

Выражение под корнем в формуле (8.12) является суммарным собственным риском активов, образующих портфель. Однако, как следует из формулы (8.12), собственный риск портфеля будет в п раз меньше. Очевидно, что с ростом числа независимых активов в портфеле его собственный риск будет снижаться и в конечном счете станет несущественным.

Снижение собственного или несистематического риска в результате формирования портфеля из множества различных активов известно как эффект диверсификации.

Из вышеизложенного можно сделать следующие выводы:

  • • если доходности активов не являются полностью положительно коррелированными (р^ < 1), то диверсификация портфеля уменьшает его дисперсию (риск) без уменьшения его средней доходности;
  • • в случае хорошо диверсифицированного портфеля несистематическим риском можно пренебречь, так как он стремится к нулю;
  • • диверсификация не ведет к устранению систематического риска.

Графическая иллюстрация эффекта диверсификации, а также ее влияние на различные виды риска приведены на рис. 8.2.

Риски и эффект диверсификации

Рис. 8.2. Риски и эффект диверсификации

Основы теоретического подхода к анализу и формированию инвестиционного портфеля из рисковых активов, базирующегося на идее диверсификации, были разработаны американским ученым Г. Марковицем (G. Markowitz), которому впоследствии была присуждена Нобелевская премия в области экономики.

Портфельная теория базируется на ряде допущений, наиболее существенными из которых являются следующие.

  • 1. Инвесторы производят оценку инвестиционных портфелей, основываясь на ожидаемых доходностях и их стандартных отклонениях или дисперсиях за период владения.
  • 2. Инвесторы никогда не бывают пресыщенными. При выборе между портфелями они предпочтут тот, который при прочих равных условиях дает наибольшую ожидаемую доходность.
  • 3. Инвесторы не расположены к риску. Таким образом, при выборе между портфелями они предпочтут тот, который при прочих равных условиях имеет меньший риск (стандартное отклонение).

Из выполнения п. 2 и 3, в частности, следует, что все инвесторы ведут себя рационально. Тогда эффективный с точки зрения критерия «риск — доходность» портфель будет выбираться рациональным инвестором из всего множества доступных активов и их комбинаций (портфелей), обеспечивающих:

  • • максимальную ожидаемую доходность Rn для некоторого уровня риска ая;
  • • минимальный риск ол для заданного уровня ожидаемой доходности Rn.

Набор портфелей, удовлетворяющий этим условиям, называется эффективным множеством портфелей. Множество всех эффективных портфелей в системе координат «риск — доходность» образует так называемую эффективную границу или границу Марковица.

Задача определения оптимального портфеля для конкретного инвестора может быть решена аналитически — минимизацией риска, выраженного дисперсией или стандартным отклонением при заданном уровне доходности либо максимизацией доходности при заданном уровне риска. В классической постановке Марковица задача формирования оптимального портфеля имеет следующий вид:

при ограничениях:

Задача (8.13)—(8.15) решается методами нелинейной оптимизации. Решение этой задачи требует предварительной оценки N доходностей, N дисперсий и (N2 -АТ) / 2 ковариаций, т. е. (А/2 + ЗАО / 2 параметров (например, анализ 20 рисковых бумаг потребует оценки 230 параметров).

В настоящее время с вычислительной точки зрения провести подобную оценку не составляет большого труда, в частности для этих целей можно использовать специальные средства популярного офисного пакета MS EXCEL.

Моделирование и оптимизация характеристик портфеля

Табличный процессор MS EXCEL предлагает обширный арсенал функций и инструментов для моделирования инвестиционного портфеля, которые будут рассмотрены на решении следующего примера.

Пример 8.2

Имеются следующие данные о котировках акций ведущих российских компаний «Северсталь», «М.Видео», «Алроса» и «Газпром» за двухлетний период по месяцам (рис. 8.2). Сформировать инвестиционный портфель и определить его характеристики (исходный файл: портф_исх.хкх)[1].

Исходные данные для определения характеристик портфеля

Рис. 8.3. Исходные данные для определения характеристик портфеля

Осуществим расчет характеристик (доходности и риска) портфеля.

Расчет характеристик портфеля

Напомним, что доходность портфеля равна средней взвешенной из доходностей входящих в него активов (8.10). Поэтому прежде всего нам необходимо определить среднюю доходность выбранных активов за заданный период. С учетом представленных данных в нашей таблице введем в ячейку СЗ следующую формулу:

и скопируем ее нужное число раз.

Определим среднюю доходность акций ПАО «Северсталь» за анализируемый период. Для этого введем в ячейку С27 формулу:

Определим риск инвестирования в акции ПАО «Северсталь» за анализируемый период. Для этого введем в ячейку С28 формулу:

Выполним те же действия для остальных активов. Полученный результат представлен на рис. 8.4.

Фрагмент ЭТ с доходностями и рисками активов

Рис. 8.4. Фрагмент ЭТ с доходностями и рисками активов

Для наглядности и в целях соблюдения правил хорошего тона при работе с ЭТ присвоим соответствующие имена следующим диапазонам ячеек: C27.F27 — «Доходность»; C28.F28 — «Риск»; C29.F29 — «Доля».

Следующим этапом является определение риска и доходности портфеля. Для этого нам прежде всего необходимо задать вес (долю) каждого актива, которую он будет занимать в портфеле. Для начала предположим, что все активы берутся в равных долях (т. е. по 25 % или 0,25). Для этого введем в каждую ячейку диапазона ячеек С29. F29 число 0,25.

Теперь мы готовы осуществить расчет риска и доходности нашего портфеля. Как уже отмечалось, определить доходность портфеля не представляет большого труда.

Для этого введем в ячейку СЗО нашей ЭТ формулу:

Определение риска портфеля потребует определенных усилий, детального понимания формулы (8.11), а также владения некоторыми секретами MS EXCEL.

Проблема заключается в том, что для расчета риска портфеля, состоящего из п активов, нам необходимо вычислить матрицу дисперсий-ковариаций (ковариационную матрицу).

Осуществить подобный расчет можно различными способами. Мы будем использовать наиболее эффективный вариант — встроенный в MS EXCEL инструмент «Ковариация». Выполним следующую последовательность действий.

1. Выберите в меню MS EXCEL пункт «Анализ данных». На экране появится диалоговое окно с доступными инструментами (рис. 8.5).

Диалоговое окно с инструментами

Рис. 8.5. Диалоговое окно с инструментами

2. Выберите из списка инструмент «Ковариация». На экране появится диалоговое окно для ввода данных и опций. Заполните его, как показано на рис. 8.6, и нажмите «ОК». В результате наша ЭТ примет следующий вид (рис. 8.7).

Диалоговое окно инструмента «Ковариация»

Рис. 8.6. Диалоговое окно инструмента «Ковариация»

Рис. 8.7. Матрица дисперсий-ковариаций (ковариационная матрица)

Полученная матрица дает нам наглядное представление о взаимосвязях отдельных активов. Нетрудно заметить, что доходность акций компании «М.Видео» имеют отрицательную связь с доходностью акций компаний «Алроса» и «Роснефть», что может быть использовано для снижения риска портфеля.

Проблема заключается в том, что инструмент «Ковариация» выдает только «нижнюю половину» матрицы, что вполне достаточно для анализа, поскольку она является симметричной относительно диагонали. Однако для определения риска (стандартного отклонения) портфеля нам необходима полная версия матрицы. Конечно, мы могли бы заполнить ее вручную. Но есть более комфортный способ.

  • 3. Выделите значения полученной матрицы, т. е. диапазон ячеек C34.F37, и скопируйте.
  • 4. Установите курсор в ячейку Н34 и нажмите правую клавишу мыши. В открывшемся диалоговом окне выберите команду «Специальная вставка» и поставьте галочку в опции «транспонировать» (рис. 8.8). Нажмите «ОК».
Окно операции «Специальная вставка»

Рис. 8.8. Окно операции «Специальная вставка»

5. Теперь выделите значения транспонированной матрицы (диапазон ячеек Н34.К37) и скопируйте. Установите курсор в ячейку С34 и нажмите правую клавишу мыши. В открывшемся диалоговом окне выберите команду «Специальная вставка» и поставьте галочку в опции «пропускать пустые ячейки» (рис. 8.9). Нажмите «ОК».

Рис. 8.9. Окно операции «Специальная вставка»

Полученный вариант ЭТ представлен на рис. 8.10.

Присвоим полученной матрице (диапазон ячеек C34.F37) имя «ков_м». И приступим к заключительному этапу — расчету риска портфеля. Перед этим еще раз убедитесь, что все имена присвоены соответствующим диапазонам ячеек (табл. 8.2), а расчетные ячейки сдержат правильные формулы.

Рис. 8.10. Полная матрица дисперсий-ковариаций (ковариационная матрица)

Таблица 8.2

Имена диапазонов ячеек

Диапазон ячеек

Имя диапазона

C27.F27

Доходность

C28.F28

Риск

C29.F29

Доля

C34.F37

ков_м

Для расчета риска портфеля воспользуемся еще одним секретом MS EXCEL — формулами, которые возвращают в виде результата не одно значение, а матрицы или массивы данных. Это позволит нам реализовать модель (8.11) более компактным способом — в матричном виде:

гдеХ — матрица (вектор) весов; COVAR — матрица дисперсий-ковариаций; Xт — транспонированная матрица (вектор) весов.

Выполним следующие действия.

  • 1. Установите курсор в ячейку С31.
  • 2. Наберите в строке ввода формулу:

3. Удерживая одновременно клавиши «CTRL» и «SHIFT», нажмите клавишу «ENTER».

Одновременным нажатием данной комбинации клавиш мы указали MS EXCEL, что вводим формулу-массив. Окончательный вариант ЭТ представлен на рис. 8.11.

Фрагмент ЭТ с расчетом риска портфеля

Рис. 8.11. Фрагмент ЭТ с расчетом риска портфеля

Обратите внимание на формулу в ячейке С31. Она заключена в фигурные скобки. При этом мы их не вводили. Таким способом MS EXCEL помечает формулы, возвращающие в виде результата массивы. Использованный способ избавил нас от необходимости реализовывать выражение (8.11) по частям.

Отметим, что риск нашего портфеля достаточно высок и значительно превышает ожидаемую доходность.

Таким образом, инвестиционный портфель нуждается в оптимизации.

Оптимизация инвестиционного портфеля

Ранее уже отмечалось, что задача (8.13)—(8.15) в постановке Марковица решается методами нелинейной оптимизации. В MS EXCEL для этих целей предусмотрен специальный инструмент — «Поиск решения».

Продемонстриуем технику его использования для оптимизации нашего портфеля. Однако в начале необходимо выполнить одно подготовительное действие — задать ограничение на общую сумму долей активов. Согласно формуле (8.15) она должна быть равна единице или 100 %.

Введите в ячейку G29 формулу:

Далее следует выполнить следующие действия.

  • 1. Выберите в строке меню вкладку «Данные».
  • 2. Выберите из появившегося списка инструмент «Поиск решения». На экране появится диалоговое окно для задания параметров.
  • 3. Поскольку мы будем минимизировать риск портфеля, то в поле «Оптимизировать целевую функцию» введите ячейку С31. Соответственно направление оптимизации устанавливаем в «Минимум».
  • 4. Далее необходимо добавить ограничения (8.14) и (8.15), а также ограничения на неотрицательные значения долей активов. Для ввода ограничения (8.14) нажмите кнопку «Добавить». На экране появится диалоговое окно для ввода ограничения. Заполните его, как показано на рисунке, и нажмите кнопку «Добавить».
Диалоговое окно ввода ограничений

Рис. 8.12. Диалоговое окно ввода ограничений

  • 5. Аналогичным способом последовательно введите остальные ограничения. В результате диалоговое окно инструмента будет иметь следующий вид (рис. 8.13).
  • 6. Оставьте остальные параметры неизменными и нажмите кнопку «Найти решение». На экране появится информационное окно «Результаты поиска решения». Нажмите кнопку «ОК». Фрагмент полученной ЭТ представлен на рис. 8.14.

Рис. 8.13. Диалоговое окно инструмента «Поиск решения»

Нетрудно заметить, что риск портфеля снизился с 0,0412 до 0,0315 (т. е. фактически на 23,5 %). При этом его ожидаемая доходность осталась неизменной.

Таким образом, при заданном уровне доходности оптимальное решение заключается в том, чтобы сформировать портфель из четырех акций в следующих пропорциях (ячейки C29.F29): «Северсталь» (19,5 %), «М.Видео» (51 %), «Алроса» (27 %) и «Роснефть» (2 %).

Фрагмент ЭТ с оптимизированным портфелем

Рис. 8.14. Фрагмент ЭТ с оптимизированным портфелем

В качестве практического упражнения с целью закрепления пройденного материала читателю предлагается максимизировать доходность портфеля из примера 8.2 при заданном уровне риска.

  • [1] Котировки акций российских компаний можно скачать с сайта Московскойбиржи или инвестиционных компаний, таких как «Финам», МФД и др. Для автоматической загрузки в MS EXCEL следует выбирать тип файла .csv.
 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >