Проблемы анализа надежности технических систем при произвольных законах распределения отказов и восстановлений

В настоящее время большинство практических расчетов в области надежности предполагает использование экспоненциального закона распределения времени между отказами элементов и экспоненциальных параметров функционирования системы, таких как время принятия решения, время перерыва в работе элементов, время существования скрытого отказа и т. д. Это обусловлено, с одной стороны, известным положением о сходимости суммарных независимых потоков отказов к пуассоновскому потоку и, с другой — сравнительной простотой аналитических расчетов. Известно, однако, что использование экспоненциального закона, как правило, приводит к существенному расхождению аналитических и экспериментальных данных о надежности сложных систем. Неучет не- экспоненциальности распределений времени безотказной работы и времени восстановления элементов сложной системы может приводить к чрезвычайно большим ошибкам.

Причины неэкспоненциальности случайных параметров, отказов и восстановлений технических систем. Расчет надежности машин, содержащих непоследовательно соединенные в смысле надежности элементы, не подпадает под применение экспоненциальных распределений. Поэтому включение их в систему в качестве элементов приводит к необходимости исследовать надежность системы при неэкспоненциальных распределениях.

При нагруженном резерве вероятность безотказной работы устройства подчиняется гиперэкспоненциальному распределению, а при ненагруженном или смешанном резервировании — обобщенному гамма-распределению. Это следует из простого свойства экспоненциальных распределений, а именно, свертка плотностей fi(t) = А,- exp{-A,t} есть плотность, подчиненная обобщенному гамма-распределению, причем если все Xt различны, то свертка указанных плотностей дает гиперэкспоненциальное распределение. Действительно, свертка всех плотностей/^t) с одинаковыми параметрами A,j дает плотность гамма-распределения, а свертка гамма- распределений с разными параметрами, как известно, приводит к плотности обобщенного гамма-распределения. В частности, если все А,- различны, то имеем линейную комбинацию плотностей экспоненциальных распределений

С другой стороны, функционирование невосстанавливаемого устройства, элементы которого имеют экспоненциальные распределения, описывается графом состояний, в ветви которого проставлены параметры этих распределений.

На рис. 3.1 приведен фрагмент графа, содержащий одну из его вершин i0, предшествующую вершину i_i и все вершины ib i2, ..., ц., следующие из данной вершины за один переход.

Тогда для вероятности piQ (О состояния i0 справедливо равенство

Это значит, что вероятность пребывания системы в любом состоянии равна свертке экспоненциальных функций и представляет собой линейную комбинацию гамма-распределений. Отсюда еледует, что вероятность безотказной работы также равна линейной комбинации гамма-распределений.

Фрагмент графа, включающий вход и выходы, связанные с состоянием /

Рис. 3.7. Фрагмент графа, включающий вход и выходы, связанные с состоянием /0

Линейная комбинация гамма-распределений превращается в линейную комбинацию экспоненциальных распределений, если все суммарные интенсивности переходов для любого пути графа различны. Поскольку для основного соединения и нагруженного резерва суммарная интенсивность при переходе на более низкий уровень графа убывает, то плотность распределения времени безотказной работы всей системы имеет гиперэкспоненциальное распределение. Для ненагруженного или скользящего резерва отмеченное свойство не имеет место, и поэтому плотность распределения времени безотказной работы системы имеет обобщенное гамма-распределение.

Подобные заключения можно сделать и для элемента с экспоненциально распределенным резервом времени, элементов, обладающих экспоненциальным распределением, но в которых учитываются дополнительные свойства, такие как возможность накопления нарушений, встроенный контроль, два вида отказов и др. В наибольшей степени это относится к механическим элементам, которые принципиально являются стареющими. Время безотказной работы механических элементов имеет распределение Вейбулла или усеченное нормальное распределение, т. е. экспоненциальная модель не адекватна физическим процессам, протекающим в системе.

Для ремонтируемых систем время восстановления практически никогда не является экспоненциальным, так как складывается из времен обнаружения, локализации и устранения неисправности, т. е. равно сумме (зависимых или независимых) обычно неэкспоненциальных распределений случайных величин.

Причинами неэкспонециальности распределений являются:

  • — большое число механических устройств;
  • — восстановление;
  • — неодновременность работы элементов;
  • — искусственная и естественная избыточность.

Таким образом, проблема анализа надежности восстанавливаемых систем с произвольными распределениями отказов и восстановления вытекает из свойств сложных систем.

Зависимость показателей надежности от законов распределения и дисциплин восстановления элементов. В теории надежности важное место отводится нахождению простых приближенных расчетных формул для показателей надежности. В то же время эти формулы должны иметь достаточно высокую точность. Как показывают исследования, даже в случае простейших резервированных систем не удается найти простых аналитических соотношений для вычисления показателей надежности с требуемой точностью. Исключение составляют некоторые системы специального вида, показатели надежности которых зависят только от математических ожиданий времени безотказной работы и времени восстановления элементов и не зависят от законов распределения. Так обстоит, например, дело в следующих случаях:

  • — когда элементы системы независимы друг от друга как по отказам, так и по восстановлению (параллельное соединение с неограниченным восстановлением);
  • — при вычислении стационарных характеристик надежности в случае отсутствия в системе исправных элементов, которые в течение определенного времени не включаются в работу, или отказавших элементов, которые по принятой дисциплине обслуживания не восстанавливаются.

Однако, как правило, при вычислении показателей надежности недостаточно знать лишь первые моменты соответствующих распределений. Если даже предположить, что среднее время восстановления элементов значительно меньше среднего времени их исправной работы, то и в этом случае существующие расчетные формулы дают весьма грубые приближения к истинным значениям показателей надежности. При надлежащем выборе законов распределения относительная погрешность может быть очень высокой и даже неограниченной. Кроме того, эти формулы, как правило, не учитывают приоритета обслуживания отказавших элементов. Как известно, для экспоненциальных распределений дисциплина восстановления элементов незначительно влияет на показатели надежности всей системы, особенно если ее функционирование протекает при дополнительном условии «быстрого» восстановления. Однако если законы распределения произвольны, то дисциплина восстановления может оказать существенное влияние на надежность системы.

Влияние произвольных распределений отказов и восстановлений на нестационарные показатели надежности. Практические задачи, возникающие в теории надежности, показывают важность расчета и анализа нестационарных характеристик, которые часто не принимаются во внимание, хотя продолжительность переходного процесса может быть довольно большой. Более того, существуют системы, стационарное состояние которых вообще не наступает.

Если/(0 Hg(t) — плотности распределения времени безотказной работы и времени восстановления элемента, то функция готовности удовлетворяет следующему уравнению:

функция с% находится из уравнения

Численное решение этих уравнений для многих распределений не представляет затруднений. Однако могут быть получены аналитические выражения функции готовности для некоторых часто встречающихся распределений. Функция готовности в терминах преобразования Лапласа имеет вид

Если законы распределения экспоненциальные с параметрами X и ц соответственно, то функция (3.1) дает формулу

Для случая, когда закон распределения времени безотказной работы экспоненциальный, а времени восстановления — не экспоненциальный, можно рассмотреть для примера два распределения времени восстановления: равномерный и Эрланга 2-го порядка с одинаковыми математическими ожиданиями и дисперсиями. Для равномерного распределения с параметрами а и b из (3.3) следует

и в явном виде найти функцию готовности не удается. Для распределения Эрланга с параметром ц из (3.3) следует, что

и функция готовности находится в явном виде:

. 4Ц-« X

где р = ----при ц>-.

Точки экстремума получаются в результате решения уравнения

/ 2Р

7c/c_arctg2^X

Kr(t) = 0, откуда tg($bk) = ~ Р—. Тем самым Ък=--—^-,

2ц - Л, р

к = 1, 2, ..., и функция .fCr(t) имеет бесконечное число точек экстремума, а это соответствует колебательному процессу. Для значения Ьг имеем

т. е. Ь] — точка минимума, в которой график функции готовности лежит ниже стационарного значения Кг. Значения ак, в которых график функции готовности пересекает линию Kr(t) = Kr, определяются из уравнения

Это доказывает, что для произвольных распределений могут наблюдаться провалы функции готовности ниже ее стационарного значения.

В отличие от экспоненциального случая, когда функция готовности всегда является монотонно убывающей, в общем случае это не имеет место, и очень часто у функции готовности наблюдаются колебания. Поэтому может оказаться, что готовность системы для небольшого времени эксплуатации меньше, чем при ее длительной эксплуатации. С уменьшением дисперсии времен безотказной работы элементов усиливается колебательный характер функции Kr(t) и значительно увеличивается время наступления стационарного режима системы.

В случае если законы распределения — вырожденные со средними ТиТв соответственно, тогда из выражения (3.3) следует

Это выражение показывает, что функция KT(_t) тождественно равна единице на интервалах [к(Т + Тв),к(Т + ТВ) + Т] и равна нулю вне этих интервалов, т. е.

Стационарный режим здесь отсутствует, а коэффициент готовности не существует.

Методы и проблемы расчета надежности систем с большим числом состояний. Разработка математической модели технической системы с большим числом состояний, как правило, сталкивается со следующими препятствиями, существенно затрудняющими анализ ее надежности:

  • — неоднозначность понятия отказа системы;
  • — взаимовлияние отказов элементов и частей системы;
  • — неопределенность исходных данных;
  • — многокритериальность;
  • — восстанавливаемость;
  • — наличие избыточности (естественной или искусственной, введенной с целью повышения надежности);
  • — наличие контроля состояний;
  • — возможность перестройки структуры системы.

Одной из центральных проблем теории надежности больших систем следует считать разработку математического аппарата для ее расчета, анализа и прогнозирования. Сложность технической системы и большое число состояний ее функционирования приводят к необходимости решения задач весьма больших размерностей. Так, например, в системе из п разнонадежных элементов с нагруженным резервом, обслуживаемой одним ремонтником, насчитывается

П

N=yZAln>nсостояний, где А1п — число размещений из п по i. Даже

i=0

для простейших схем (типа дублированной системы элементов) могут быть сотни состояний, если учитывать контроль состояний, переключение на резерв и другие особенности реальной системы.

В настоящее время для анализа надежности больших систем, как правило, используется общеизвестный математический аппарат, основанный на методах имитационного моделирования, методах случайных процессов и связанных с ними интегро-дифференциальных уравнениях, методах асимптотического анализа.

На основе этих методов расчеты характеристик надежности больших систем, обладающих значительной сложностью, достаточно редко могут быть доведены до численных результатов с требуемой точностью. Таким образом, отсутствие традиционных методов для анализа сложных технических систем с большим числом возможных состояний (порядка сотен тысяч и более) требует разработки нестандартных подходов к оценке их надежности и эффективности.

При рассмотрении надежности технических устройств обычно предполагается, что они могут пребывать в двух возможных состояниях: работоспособном и отказовом. Значение любого показателя надежности зависит от того смысла, которое вкладывается в понятие «отказовое состояние». Исследование сложных систем ставит перед теорией надежности новые задачи. Если для исследуемой сложной системы определено понятие отказа, то принципиально можно найти требуемые характеристики надежности. Однако далеко не всегда очевидно, какое состояние системы можно считать отказовым. При появлении отказов отдельных частей лишь частично ухудшаются характеристики системы, но она продолжает выполнять свои функции. Возникает вопрос об оценке меры целесообразности применения данной системы.

В существующих методах расчета надежности технических систем обычно предполагается, что отказы элементов независимы и система попадает в состояние отказа при отказе определенного числа элементов. Для сложных систем эти допущения часто бывают неприемлемыми. Между характеристиками отдельных частей системы имеется тесная взаимосвязь, и отказы отдельных частей системы являются зависимыми событиями. Возникает проблема изучения суммарных потоков отказов элементов большой системы и учета их влияния на надежность системы в целом.

В вопросах анализа надежности сложных систем с большим числом состояний существенным препятствием служит неопределенность начальных исходных данных по надежности и ремонтопригодности элементов. Как правило, характеристики времен безотказной работы и восстановления элементов являются случайными величинами, имеющими некоторые распределения вероятностей. Одной из особенностей моделирования сложной системы является учет неопределенности данных.

Проблемы расчета надежности реконфигурируемых систем. Особой спецификой обладают системы с переменной структурой. В общем случае к ним можно отнести системы, характеристики надежности которых изменяются из-за таких причин, как изменение нагрузки на систему или ее элементы, модификация структуры системы, наличие временных интервалов простоя элементов системы, изменение условий функционирования системы и т. д. Указанные технические системы относятся к системам с реконфигурацией их структуры. Модификации в системе могут происходить как через постоянные, так и через переменные промежутки времени; они могут быть детерминированными и случайными, периодическими и непериодическими. Структура системы может изменяться из- за того, что меняются функции, выполняемые системой, а также с целью повышения ее надежности.

Большое количество технических систем может быть интерпретировано как системы с модификациями, или с переменной структурой. Например, многопроцессорные системы могут изменять свою структуру в зависимости от исходных данных. То же относится к производственным линиям, узлы которых могут выполнять различные операции в зависимости от условий их применения. Анализ подобных систем показывает, что, как правило, их модификации являются периодическими. Например, период для производственных линий может быть равен 24 ч или продолжительности производственного цикла. Все модификации происходят в фиксированные моменты времени, между которыми характеристики надежности не меняются.

Анализ надежности систем со статической и динамической реконфигурацией структуры представляет собой новое направление в теории надежности сложных технических систем. Различаются системы, когда в момент изменения структуры информация о времени работы или восстановления элементов «забывается» и после момента реконфигурации система с измененной структурой начинает функционировать как новая. Это условие может быть вполне естественным для системы типа «черный ящик», о которой лишь известно, что она имеет два состояния и определены законы распределения вероятностей перехода между состояниями. Для таких систем предполагается, что допустимыми являются лишь переходы между исправными состояниями и между отказовыми состояниями.

Иначе обстоит дело с системой, имеющей несколько уровней возможных состояний, когда в процессе перестройки структуры системы возможны переходы между состояниями одного уровня. При этом может оказаться, что из исправного состояния система переходит в отказовое состояние и, наоборот, из отказового состояния — в исправное. Таким свойством как раз обладают системы типа т/п с нагруженным и ненагруженным резервом.

Сложная техническая система с позиций надежности характеризуется такой специфической особенностью функционирования, как ее многофункциональность. Количество выполняемых системой функций может достигать нескольких десятков. При этом в реализации одной функции может участвовать большое число модулей (элементов). Один и тот же модуль может быть задействован в выполнении нескольких функций. Поэтому модули, образующие систему, имеют различную длительность эксплуатации. Так, некоторые из них работают непрерывно, поскольку участвуют в выполнении всех функций, а некоторые модули включаются только на время выполнения какой-либо одной или нескольких функций. Многофункциональность накладывает определенный отпечаток на форму постановки задач анализа надежности такой системы.

При изучении надежности систем, выполняющих несколько функций, как правило, применяется функциональный подход, при котором описание надежности производится по каждой функции в отдельности, и поэтому надежность системы характеризуется вектором показателей надежности всех ее функций. Таким образом, сравнительная оценка различных систем одного и того же назначения часто является затруднительной или совсем невыполнимой. Основной сложностью в исследовании многофункциональных систем, на наш взгляд, является то обстоятельство, что исследования проводятся без учета потока задач, поступающих в систему. В этом случае анализ надежности системы, функционирующей по нескольким функциям, неоднозначен, а возникающая при этом неопределенность без какой-либо дополнительной информации не поддается измерению.

Выходом из этой ситуации может служить исследование системы вместе с потоком задач, поступающих на обслуживание. Без учета потока задач можно говорить о временах использования системы по каждой функции и исследовать ее надежность с учетом времен выполнения системой всех ее функций.

Основными вопросами анализа систем с переменной структурой являются разработка моделей и методов расчета характеристик их надежности, а также управление процессом модификаций с целью получения наибольшей надежности системы в соответствии с выбранными критериями.

Результаты анализа проблемы. Результаты анализа проблемы сводятся к следующему. Использование экспоненциальных законов при анализе надежности реальных технических систем длительного функционирования в принципе неправомерно, так как исходные посылки в моделях не адекватны физическим процессам, протекающим в системах. При решении практических задач указанная идеализация реальных процессов отказов и восстановлений может приводить к существенным ошибкам.

Разработка математической модели функционирования сложных технических систем и ее анализ, как правило, сталкиваются с необходимостью учета важных особенностей их функционирования, таких как контроль состояний элементов, последействие отказов, переключение на резерв, возможность реконфигурации системы во время ее эксплуатации, введение различных видов резервирования, наличие интервалов простоя элементов и т. д. Случайные параметры, характеризующие указанные особенности, обычно являются «неэкспоненциальными».

Традиционные методы ограничены возможностью анализировать надежность и эффективность функционирования технических систем с числом состояний до ста. Решение этих задач для сложных систем с большим числом состояний (порядка сотен тысяч и более) требует разработки нестандартных подходов.

В настоящее время отсутствуют не только инженерные методы, но и теоретические разработки анализа надежности технических систем с переменной структурой, обусловленной ее многофункциональностью. Анализ надежности систем со статической и динамической реконфигурацией структуры представляет собой новое направление в теории надежности сложных технических систем.

Особенности функционирования сложных систем и анализ существующих методов их расчета по показателям надежности позволяют утверждать, что в настоящее время не существует инженерных методов расчета и анализа надежности сложных систем, учитывающих их свойства и особенности функционирования. Это объясняется: 1) неадекватностью моделей физическим процессам; 2) математическими трудностями; 3) отсутствием статистических данных по надежности элементов.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >