Основные понятия о резервированных системах

В практике проектирования сложных технических систем [19] часто используют схемы с параллельным соединением элементов (рис. 2.8), которые построены таким образом, что отказ системы возможен лишь в случае, когда отказывают все ее элементы. То есть система (устройство, изделие) исправна, если исправен хотя бы один ее элемент. Такое построение системы часто называют резервированием. В большинстве случаев использование резервирования оправдывает себя, несмотря на увеличение стоимости. Наиболее выгодным является резервирование отдельных элементов, которые непосредственно влияют на выполнение основной работы устройства. При конструировании технических систем в зависимости от выполняемой системой задачи применяют горячее или холодное резервирование.

Рис. 2.8. Обобщенная структурная схема надежности системы с параллельным соединением элементов

Горячее резервирование применяют в случаях, когда не допускается перерыв в работе системы на переключение отказавшего элемента на резервный. Это делается с целью выполнения задачи в установленное время. Чаще всего горячему резервированию подвергают отдельные элементы. Используют горячее резервирование элементов и подсистем, например источников питания (аккумуляторные батареи дублируются генератором-источником напряжения и т.п.).

Холодное резервирование используют в тех случаях, когда необходимо увеличение ресурса работы системы. Именно поэтому предусматривают время на переключение отказавшего элемента на резервный.

Существуют технические системы с частично параллельным резервированием, т.е. системы, которые оказываются работоспособными даже в случае отказа нескольких элементов.

Рассмотрим систему, имеющую ряд параллельных элементов с надежностью r(t) и, соответственно, ненадежностью В случае если система содержит п элементов, которые соединены параллельно, вероятность отказа системы равна

а вероятность безотказной работы равна

При частично параллельном резервировании вероятность безотказной работы системы, состоящей из общего числа элементов п, определяют по формуле

где r(t) – вероятность безотказной работы одного элемента; j – число исправных элементов, при котором обеспечивается работоспособность системы;– число сочетаний из п элементов по k.

В случае j = 1 система будет полностью параллельной, в остальных случаях – частично параллельной.

Примечание. По теории резервирования существует огромная литература. Математические модели расчета показателей надежности резервированных и нерезервированных систем S-, Р-, С-, Z-, X-, W-типов представлены в гл. 5.

Размышляем самостоятельно

К выводу уравнений интенсивности отказов (2.15)-(2.17).

С использованием теории случайных процессов авторы данного учебника в работе [15] доказали эквивалентность физико-статистического и физико-вероятностного подходов при решении проблем надежности. Тем не менее при определении такого важного показателя надежности, как интенсивность (опасность) отказов λ(ί), особенно для систем однократного использования, стоит остановиться на двух подходах к ее определению, выделяя вероятностный и статистический методы, изложение которых будет существенно опираться на результаты, наиболее ясно изложенные в работе основателей статистической теории надежности [12].

А. Вероятностный метод

Пусть элемент системы проработал безотказно до момента ί. Рассмотрим вопрос: какова вероятность того, что он не откажет на участке (t, t1)?

Обозначим эту вероятность (вероятность безотказной работы – ВБР) через r(t, t1)^[1].

Пусть А – событие, означающее безотказную работу элемента на временном участке (0, t); Б – событие, означающее безотказную работу на участке (t, t1). Ситуация отображена рис. 2.9.

Рис. 2.9. К пояснению вывода уравнения для λ(t)

Тогда по теореме умножения вероятностей

(2.21)

где знак "" означает "при условии"^[2]. Как и у ряда французских специалистов по теории вероятностей, у нас упомянутую теорему чаще называют теоремой Байеса и используют ее в вопросах прогнозирования будущего состояния экологии, психики человека и т.д. [26]. Приведем этот результат в проекции на оси времен:

Вероятность отказа на временном интервале (t, t1) выразится как Положим t1 = t + St и устремим δt к нулю. Тогда

Примечание. Появление знака "минус" обусловлено соображениями физики убывания ВБР со временем.

Далее авторы работы [12] вводят обозначение и называют λ(t) интенсивностью отказов. Хотя по смыслу более правильным было бы назвать, как раньше и делали, опасностью отказов. Но название "интенсивность отказов" подтверждается действующими ГОСТами, тем более что ГОСТ "оправдан" соотношением

Таким образом, λ(t) является локальной (дифференциальной) характеристикой надежности элемента в каждый момент времени. С технической точки зрения λ(t) есть вероятность того, что элемент, проработавший безотказно до момента времени t, откажет в последующую единицу времени (если, кончено, эта единица мала).

В терминах теории вероятностей λ(t) есть плотность условной вероятности отказа в момент t при условии, что до этого момента времени элемент работает безотказно.

Учитывая, что

– это так называемое уравнение Колмогорова 1-го рода, нетрудно найти ВБР (или, что то же самое, функцию надежности)

а на временно́м интервале (t1, t2)

Б. Статистический метод

Функция λ(t) может быть определена но результатам испытаний. Пусть испытываются N элементов, и наблюдаются их отказы. Пусть п(t) – число элементов, не отказавших к моменту времени Г. Тогда при достаточно малом δt и достаточно большом N

где δn – число отказов на участке (t, t + δt), т.е. интенсивность отказов элементов равна числу отказов, происшедших за единицу времени, отнесенное к числу работающих элементов к данному моменту времени [12].

Примечания. Рассмотрим причины возможных ошибок, которые могут возникнуть при применении указанных методов.

• 1. Ошибки могут возникнуть из-за непонимания смысла однонаправленности времени, поскольку событие Б (будущее) не может быть раньше А (прошлого). Исключая пока фантастику путешествий в обе стороны времени и обращения его хода в черных дырах, останемся в рамках обычных представлений о времени, измеряемом, пусть и примитивными, часами, ход которых регулируется земным притяжением. Как и заработная плата за проведение испытаний на надежность также выплачивается по ним же, в соответствии с формулой К. Маркса "копейкой времени".
• 2. Корень ошибки может лежать и в методическом плане: для статистика чаще всего время неинтересно, так как он работает с массивом данных и часто оперирует статистическими вероятностями по Р. Мизесу, относя число благоприятных случаев к общему числу случаев. Статистик в физику зачастую не заглядывает. Отсюда же можно вывести и пренебрежение к статистике и статистикам в нашей стране, поскольку в недавние времена на каждого жителя ежемесячно в среднем приходилось недостаточное количество продуктов потребления, одна почти одинаковая заработная плата и т.п.
• 3. Теорема о причинах тесно связана с интуитивными архиважными понятиями зависимости (или свободы – liberty) и независимости, от которых зависят как аксиоматика теории вероятностей, так и оценка надежности изделий с помощью моделей, особенно при их разработке. Тут мы отсылаем любопытного читателя к научным работам А. Н. Колмогорова (сравнительно недавно опубликованы его труды с изложением философско-интуитивного виденья мира, не исключено, что сложившегося нс без влияния его друга П. С. Александрова, читавшего лекции в институте высших исследований г. Принстона, где, кстати, работал А. Эйнштейн и целая плеяда известных ученых-атомщиков), а также изгнанного из Московского университета Η. Н. Лузина; утонувшего во Франции 22-летнего, подающего большие надежды ученого П. С. Урысона; француза М. Лоэва (изданы его труды, теоретически основательно, строго и глубоко переведенные на русский язык), Б. В. Гнеденко, отличавшегося хорошим формализмом и знанием истории. Можно рекомендовать для использования также работы наших ученых И. В. Дунина-Барковского и Н. В. Смирнова (великолепное изложение вопросов надежности в числах), а также E. С. Венцель (особенно в расчетах, но не в вопросах обоснования), которые сейчас доступны, в том числе и в сети Интернет.

• [1] Reliable, reliability – надежность, надежда, доверие, субъективная вероятность; t – time – время.
• [2] В одном из изданий книги [4] формула дана с опиской: r(АБ) = r(АБ)/r(А), возникшей, возможно, из увлеченности академика Б. В. Гнеденко, который, по воспоминаниям одного из авторов данной книги, на интереснейших лекциях, прочитанных в Политехническом музее но теории гибели и размножения в применении к надежности, иногда увлеченно исписывал доску уравнениями и формулами порхающим в его руках мелом. Слушатели едва успевали конспектировать и следить за его мыслью. И часто бывало, что вдруг он обнаруживал ошибку у себя и все мгновенно стирал. Так было не раз и не два. У творческих людей высокого уровня это обычное явление. И мы не бросим в них камня за это.