Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Товароведение arrow Основы теории надежности

Методы анализа эмпирических функций распределения параметров объектов для оценки показателей надежности

В результате изучения данной главы[1] студент должен:

знать

• методы анализа эмпирических функций распределения показателей надежности;

уметь

  • • использовать методы математической статистики (МС) при обработке результатов испытаний;
  • • проверять статистические гипотезы критериев согласия;

владеть

• методами МС при обработке результатов испытаний на надежность и проверке статистических гипотез критериев согласия для конкретных функций распределений наработок изделия (изделий) до отказа (отказов).

Анализ эмпирических функций распределения параметров объектов для оценки показателей надежности с использованием гипотез (критериев) согласия

Ключевая вероятностная характеристика надежности определяется функциями распределения параметров и показателей, характеризующих надежность. Исходными данными для ее оценки выступают эмпирические значения x1, ..., xN параметров (показателей) надежности, или выборка случайных величин [8, 9].

В основе математико-статистического анализа надежности лежит преобразование вида

где Р – алгоритм преобразования выборочных данных в функцию распределения; F(x, ) – параметрический закон распределения случайной величины;– вектор параметров закона распределения.

Поскольку на практике может использоваться много различных законов распределения, задача анализа сводится к обоснованному преобразованию выборочных данных в конкретную функцию распределения F(x, ). Алгоритм преобразования Р выборочных данных в функцию распределения в общем случае имеет вид, показанный на рис. 6.1.

В зависимости от критерия, используемого для проверки выдвинутой гипотезы, построение эмпирической функции распределения осуществляется по группированным либо негруппированным данным.

Общий вид алгоритма преобразования выборочных данных в функцию распределения

Рис. 6.1. Общий вид алгоритма преобразования выборочных данных в функцию распределения

Обобщенная схема построения эмпирической функции распределения по группированным данным представлена на рис. 6.2.

Обобщенная схема построения эмпирической функции распределения по группированным данным

Рис. 6.2. Обобщенная схема построения эмпирической функции распределения по группированным данным:

xmin и xmах – минимальные и максимальные элементы выборки соответственно

Построение эмпирической функции распределения по негруппированным данным сводится к преобразованию вида

где i = l, ..., N.

Поскольку выдвижение гипотезы о виде функции распределения не поддается какой-либо формализации, то вид закона (экспоненциальный, Релея, Вейбулла, Гаусса и др.) выбирается по результатам фактического (расчетного, визуального) анализа эмпирической функции распределения.

Оценки параметров Θ функции распределения по выборочным данным осуществляются по известным соотношениям, имеющимся в литературе, в частности у Г. В. Дружинина[2]. Так, параметры v1 закона распределения Гаусса

определяются с помощью соотношении

Проверка выдвинутой гипотезы о виде функции распределения проводится с помощью так называемых критериев согласия. Рассмотрим два наиболее используемых критерия: χ2 и критерий Колмогорова [53–55].

Критерий χ2. Допустим, что имеется ряд эмпирических значений показателей (параметров) x1, ..., xN, характеризующих надежность. Требуется проверить гипотезу о том, что функция распределения F(x, 0), вектор параметров ϴ которой рассчитан по выборочным данным, согласуется со значениями x1, ..,xN.

Разобьем интервал [xmjn, xmax] на п частей (правила расчета будут описаны ниже). Рассчитаем теоретическую вероятность попадания случайной величины в i-й интервал:

Подсчитаем число mt элементов выборки, попавших в тот же интервал [ai; bi].

Если выдвинутая гипотеза о виде согласуется с фактическими данными, то согласно Пирсону при больших значениях N величинаимеет распределениес степенями свободы. По заданному уровню значимости (обычно из набора 0,1; 0,05; 0,01; 0,001) по табл. П6.2 приложения 6 найдем такое значение , для которого

где – функция, полученная в результате вычислений;– функция, известная из теории.

Если , то считается, что гипотеза не согласуется с фактическими данными.

Если , то считается, что гипотеза не противоречит фактическим данным.

Пример 6.1

Допустим, имеются 43 выборочных значения параметра: 0; 5; 15; 24; 28; 37; 49; 54; 60; 75; 87; 92; 111; 114; 121; 127; 130; 134; 138; 140; 144; 147; 149; 155; 168; 170; 173; 189; 192; 197; 198; 201; 204; 225; 231; 243; 248; 249; 256; 265; 274; 281; 300. Требуется проверить гипотезу о том, что выборочные данные описываются экспоненциальным законом распределения. Уровень значимости критерия принять равным ε = 0,01.

Решение

Разобьем интервал [0; 300] на п = 6 равных частей: [0; 50], [50; 100], [100; 150], 1150; 200], [200; 250], [250; 300].

Закон распределения имеет вид . Параметр λ рассчитаем по формуле

Рассчитаем значения mi и mi. Результаты расчета сведем в табл. 6.1

Таблица 6.1

Результаты расчета

Номер интервала

mi

mi

1

5

0,27

11,34

3,51

2

6

0,2

9,40

0,62

3

11

0,15

6,30

3,86

4

8

0,11

4,62

2,16

5

7

0,07

2,94

5,41

e

5

0,20

9,40

1,43

Вычислим величину

Значение ε задается заказчиком: чем оно меньше, тем меньше вероятность ошибки. По заданному уровню значимости ε = 0,01 из табл. П6.2 приложения 6 найдем

Сопоставление значений позволяет заключить, что

гипотеза о том, что выборочные данные соответствуют экспоненциальному закону распределения, не согласуется с фактическими данными.

Критерий Колмогорова

Пусть имеются выборочные значения x1, ..., xN. По несгруппированным данным (выборочным значениям) строится эмпирическая функция распределения Величина

имеет распределение, не зависящее от функции; sup (супремум) – точная верхняя грань расстояния

При по заданному уровню значимости ε с помощью табл.

П6.3 приложения 6 (ε выбирается из набора 0,1; 0,05; 0,02; 0,01) находится такое значение, что

Если значение , то также считается, что эксплуатационные данные не противоречат гипотезе.

При N > 50 используется предельное распределение Колмогорова Ну), где у – критическое значение расстояния между теоретическим и эмпирическим значениями функции распределения, взятое по модулю.

Проверка соответствия выдвинутой гипотезы основана на использовании соотношения, полученного А. Н. Колмогоровым на основе анализа со2-методов Л. фон Мизеса [54]:

где

Пример 6.2

В условиях примера 6.1 требуется выполнить проверку но критерию Колмогорова гипотезы о том, что распределение показателя интенсивности потока событий (появления чисел) числового ряда (потока Пальма) является равномерным в интервале [0; 300]. Уровень значимости ε принять равным 0,01.

Решение

Из табл. 116.3 приложения 6 следует, что Α(Ν, ε) = A(43; 0,01) = 0,243.

Величина составляет

Таким образом, выдвинутая гипотеза о равномерном распределении показателя интенсивности потока Пальма в интервале [0; 300] не противоречит фактическим данным.

Указания по обработке экспериментальных данных

  • 1. По выборочным данным проверить их соответствие по критериям и Колмогорова следующим законам распределения:
    • • экспоненциальному:
    • • усеченному нормальному: , где f(x) – плотность неусеченного распределения; с – нормирующий множитель, определяемый из выражения

• Релея:

Примечание. Для упомянутых законов распределения приведена формальная запись для дифференциальных функций распределения. В случае необходимости следует рассчитать интегральную функцию по правилу

  • 2. Оценки параметров упомянутых законов распределения определяются по следующим формулам:
    • • экспоненциальный: ;
    • • усеченный нормальный:

где М – оценка математического ожидания;

• Релея:

где

3. При использовании критерия χ2 проверку необходимо осуществлять с использованием следующих правил разбиения интервала [xmin, xmax]:

В табл. П6.4 приложения 6 приведены исходные данные для построения эмпирической функции распределения, взятые из таблиц случайных чисел.

  • [1] При написании главы использованы материалы сотрудников Дальневосточного филиала Уссурийского государственного педагогического университета (УГПУ). URL: ufdvgu.ru
  • [2] Дружинин Г. В. Надежность автоматизированных производственных систем. М.: Энергоатомиздат, 1986. С. 38 (правда, для получения несмещенной оценки σ вместо N здесь используется число степеней свободы N – 1. См. также: Статистические методы в инженерных исследованиях: учеб, пособие / иод ред. Г. К. Круга. М.: Высшая школа, 1983. С. 22. Λ доказательства соотношений имеются в книге: Боровков А. А. Математическая статистика: учебник. М.: Наука, 1984. С. 96.
 
Если Вы заметили ошибку в тексте выделите слово и нажмите Shift + Enter
< Предыдущая   СОДЕРЖАНИЕ   Следующая >
 

Популярные страницы