Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Товароведение arrow Основы теории надежности

Методика построения оценок функций распределения

Содержание методики удобно изложить в виде алгоритма (последовательности действий), который складывается из действий (шагов), подробно описанных ниже. Алгоритм реализуется согласно методике. В описании методики использованы следующие обозначения: – нормированные параметры распределения, соответствующие нормированным значениям математического ожидания и среднего квадратического отклонения σ'; – ненормированные параметры распределения, соответствующие– параметры распределения, соответствующие

Шаг 1. Преобразование исходного интервала [а; b], в котором возможна реализация случайной величины X таким образом, чтобы нижняя граница интервата совпала с началом координат (при этом верхняя граница интервала примет значение). Соответственно преобразуются данные исходной выборки

Шаг 2. Оцениваются значения двух первых начальных моментов распределения

и с помощью выражения оценивается величина среднего квадратического отклонения распределения.

Шаг 3. Определяется значение первого нормированного начального момента

Шаг 4. Если соблюдается условие, то нормированные параметры распределения определяются с помощью соотношений

и осуществляется переход к шагу' 6. Если указанное условие не соблюдается, то переходят к шагу 5.

Шаг 5. Вычисляются значения нормированных параметров распределения с помощью выражения

Значения коэффициентовприведены в табл. 6.2.

Таблица 6.2

Значения коэффициентов полинома ai(j)

j

0

1

2

a0

0,78760454

-0,23350401 • 101

0,19935077

a1

-0,25889486

0,88266373

-0,10402411

a2

-0,31872153

0,99215448 • 10-1

-0,7659968 • 10-2

a3

0,45243271 • 10-1

-0,52450713 • 10-1

0,64909123 • 10-2

a4

-0,27552103 • 10-2

0,62824786 •10-2

-0,83410484 • 10-2

a5

0

-0,240757 • 10-3

0,33025782 • 10-2

Шаг 6. Определяются значения ненормированных параметров распределения:

(6.7)

Шаг 7. Вычисляются значения параметров распределения, соответствующие исходному интервалу [а; b].

Рассмотрим пример использования представленного алгоритма.

Пример 6.3

Пусть имеется N = 12 реализаций случайной величины X:

х1 = 1044,29853; х2 = 199,45718; х3 = 1719,11262; х4 = 2817,04650;

х5 = 836,57545; х6 = 4750,78613; х7 = 147,99209; дг8 = 1235,21748;

х9 = 1297,06719; х10= 165,10047; хп = 2157,29901; х12 = 1860,30754.

При этом априорно известно, что нижняя граница интервала равна нулю.

Требуется:

  • а) найти аналитическое выражение плотности распределения случайной величины f(x);
  • б) построить оценки функций распределения F(x) на интервале х= [0; 0,2].

Решение

а) Определим значения первых двух моментов распределения v1H, v2H, величину среднего квадратического отклонения σ и μ2H при различных значениях σ1 (i = 1,2,..., 5) и заданном значении v1H. Полученные значения представлены в седьмых столбцах табл. 6.3 и 6.4.

Таблица 6.3

Вычисленные значения начального момента распределения μ1H

Значения

4,5

5

5,5

6

6,5

1

2

3

4

5

6

7

3,5

-0,09990

0,01250

0,05000

0,18750

0,25000

0,14310

3

0,15000

0,27500

0,38750

0,48125

0,56562

0,45694

2,5

0,47500

0,62500

0,75000

0,87500

0,97500

0,84094

2

0,99416

1,17239

1,33102

1,47620

1,61280

1,43709

1,5

1,968862

0,22222

0,44444

0,66666

0,88888

0,60460

Таблица 6.4

Вычисленные значения начального момента распределения μ2H

Значения

4,5

5

5,5

6

6,5

3,5

-0,00597

-0,01134

-0,012

-0,0192

-0,02065

-0,01682

3

-0,02772

-0,03423

-0,03898

-0,04209

-0,04434

-0,04136

2,5

-0,0592

-0,06601

-0,06985

-0,07381

-0,07536

-0,07274

2

-0,11286

-0,1183

-0,12146

-0,12321

-0,12414

-0,12282

1,5

-0,21910

-0,22222

-0,22222

-0,22222

-0,22222

-0,22214

Сведем значения и , соответствующие одному и тому же значению по различным, во второй – шестой столбцы табл. 6.5.

Результирующая таблица

Таблица 6.5

3,5

3

2,5

2

1,5

Интерполированные значения

1

2

3

4

5

6

7

μ1H

0,14310

0,45694

0,84094

1,43709

0,60460

0,38019

μ2H

-0,01682

-0,04136

-0,07274

-0,12282

0,22214

-0,03523

По табл. 6.5 с помощью интерполяционного полинома Лагранжа четвертой степени определены значения параметров распределения, соответствующие найденному значению . Полученные значения и занесем в седьмой столбец табл. 6.5.

С помощью формул (6.7) определены ненормированные значения и и масштабирующий параметр

Вследствие того что по условию задачи нижняя граница интервала [a; b] совпадает с началом координат, значения ненормированных параметров распределения (j = 0, 1, 2) совпадают с искомыми значениями.

б) Оценка функции плотности распределения имеет вид

Проинтегрировав f(x), получим интегральную функцию распределения вероятностей появления событий

На рис. 6.3 сплошной линией показана функция распределения /'(.г), полученная с помощью информационного подхода, ломаной – эмпирическая функция распределения, пунктиром – заданная функция распределения.

Использованные на рис. 6.3 данные получены с помощью таблицы случайных чисел (см. табл. П6.4 в приложении 6) для имитации экспоненциального закона распределения с параметрами λ = 0,5 и интервалом усечения [0; 2].

Как следует из рис. 6.3, наименьшее абсолютное отклонение оценки эмпирической функции распределения F(x) от заданной функции распределениясоставляет 0,09 при х = 0,4. Наивысшее абсолютное отклонение эмпирической функции распределения от заданной составляет 0,22 при x = 0,80314.

Виды теоретической F(x), эмпирической Fэ(x) и заданной Fз(x) функций распределения

Рис. 6.3. Виды теоретической F(x), эмпирической Fэ(x) и заданной Fз(x) функций распределения

Таким образом, после рассмотрения трех кривых, представленных на рис. 6.3, можно сделать вывод о близости информационного и имитационного методов аппроксимации эмпирической функции распределения данных. В зависимости от интервала наблюдения случайной величины точность аппроксимации различна: для аппроксимации эмпирической функции распределения информационный и имитационный подходы близки в интервале 0,85–0,1, но имитационный метод проще реализовать.

Пример 6.4

Дано: при испытаниях N = 35 элементов (напомним, что понятие "элемент" является весьма относительным и зависит от объекта исследования – это может быть ИС, ячейка, модуль, блок и т.п.) после каждого часа фиксировалось число происшедших отказов. Результаты приведены в табл. 6.6.

Таблица 6.6

Исходные данные испытаний и наблюдений [20]

Момент времени ti, ч

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Число отказов n(ti), ед.

0

3

3

5

8

7

6

2

1

0

Требуется: найти эмпирическую функцию распределения отказов (ЭФРО) – (failure – отказ) и теоретическую функцию распределения отказов (ТФРО) – F(t).

Решение

Шаг 1. Значения ЭФРО вычислим по формуле

и запишем результаты вычислений в виде табл. 6.7.

Таблица 6.7

Результаты вычислений дискретной ЭФРО

Момент

времени

ti, ч

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

F*(ti)

0

0,086

0,171

0,314

0,543

0,743

0,914

0,971

1,00

1,00

Шаг 2. Построим дискретную функцию F*(ti) по вычисленным значениям табл. 6.7, используя программу Excel, и отобразим ее на рис. 6.4.

Эмпирическая функция распределения отказов Ρ(ti)

Рис. 6.4. Эмпирическая функция распределения отказов Ρ(ti)

Шаг 3. Проведем аппроксимацию ЭФРО и установим "внешний вид" F(t), используя программу Excel, отобразив ее рисунком (рис. 6.5).

Шаг 4. Используя метод наименьших квадратов П. Л. Чебышева, подберем алгебраическую модель для F(t) (рис. 6.6).

Шаг 5. Учитывая, что , по критерию максимума квадрата коэффициента корреляции max R2, в качестве ТФРО выбираем F3(t).

Теоретическая функция распределения отказов F(t)

Рис. 6.5. Теоретическая функция распределения отказов F(t)

Подбор аналитической модели – теоретической функции распределения отказов F(t)

Рис. 6.6. Подбор аналитической модели – теоретической функции распределения отказов F(t) (функция F3(t) выделена жирной линией)

Замечание. Вдумчивому студент}' с характером исследователя или аспиранту, пожизненно обреченному на поиск истины и даже красоты (не всегда, кстати, нацеленной на доброе), мы советуем обратить внимание на следующее обстоятельство. При строгом рассмотрении функция F(t), конечно же, не является ТФРО, поскольку она представляет собой только приближение к истинной ТФРО. Истинность F(t) в данном примере является допущением. Для интересующихся и с "математическим зудом" читателей советуем обратиться к работе А. Н. Колмогорова[1].

Резюме

Ключевая вероятностная характеристика надежности определяется функциями распределения параметров и показателей, характеризующих надежность. Исходными данными для ее оценки выступают эмпирические значения x1, ..., xΝ параметров (показателей) надежности, или выборка случайных величин. Па практике может использоваться много различных законов распределения, задача анализа состоит в обоснованном преобразовании выборочных данных в конкретную функцию распределения . В зависимости от критерия, используемого для проверки выдвинутой гипотезы, построение эмпирической функции распределения осуществляется по группированным либо негруппированным данным. Выдвижение гипотезы о виде функции распределения не поддается какой-либо формализации. Вид закона (экспоненциальный, Релея, Вейбулла, Гаусса и др.) выбирается по результатам фактического (расчетного, визуального) анализа эмпирической функции распределения. Оценки параметров функции распределения по выборочным данным осуществляются по известным соотношениям, описанным в литературе. Проверка выдвинутой гипотезы о виде функции распределения проводится с помощью гак называемых критериев согласия. Два наиболее используемых критерия: χ2 и критерий Колмогорова. Невозможность применения традиционных методов математической статистики для обработки выборок малого объема стимулировала разработку новых статистических методов, ориентированных на обработку малого числа наблюдений. Для построения оценки функции распределения используется так называемый метод прямоугольных вкладов (МПВ). Исследования свойств этого метода привели к разработке серии методов, основанных на использовании функций вкладов. В основе МПВ – использование априорной информации о неизвестном распределении значений параметров изделий, а также учет случайного характера выборки. Оценить распределение по опытным данным можно лишь с определенной степенью точности. Целью разработки новых статистических методов является возможно более полное использование выборочной информации о функции распределения и, следовательно, получение оценок распределений, как можно более близких к истинным. Применение энтропийного подхода позволяет получать оценку распределения на основе лишь опытной информации.

  • [1] Колмогоров А. Я. Об эмпирическом определении закона распределения // Теория вероятностей и математическая статистика : сб. статей. М.: Наука, 1986. С. 134-141.
 
Если Вы заметили ошибку в тексте выделите слово и нажмите Shift + Enter
< Предыдущая   СОДЕРЖАНИЕ   Следующая >
 

Популярные страницы