Лекция 8. Перпендикулярность прямых и плоскостей

  • 1. Проекции взаимно перпендикулярных прямой и плоскости.
  • 2. Проекции взаимно перпендикулярных плоскостей.
  • 3. Построение проекций прямой общего положения, перпендикулярной другой прямой общего положения.

При решении различных задач на чертежах приходится выполнять построения прямых и плоскостей, перпендикулярных друг другу, и в то же время не перпендикулярных и не параллельных плоскостям проекций, т. е. находящихся в общем положении. Рассмотрим, как это делается.

Проекции взаимно перпендикулярных прямой и плоскости

Прямая перпендикулярна к плоскости, если она перпендикулярна к каждой из двух пересекающихся прямых, принадлежащих этой плоскости.

На рис. 8.1 прямая а перпендикулярна к каждой из пересекающихся прямых тип плоскости Г, поэтому она перпендикулярна и к самой плоскости Г. Заметим, что пересекающиеся прямые плоскости не обязательно должны проходить через точку пересечения перпендикуляра с плоскостью (на рис. 8.1 — точка Л). Если построить в плоскости Г прямую Ь, параллельную прямой т, и прямую с, параллельную прямой п, наш перпендикуляр а будет скрещиваться под прямым углом с прямой Ъ и прямой с, т. е. будет также перпендикуляром к каждой из пересекающихся прямых плоскости (Ь и с). Почему прямые в плоскости должны быть пересекающимися, а не параллельными? На рис. 8.2 в плоскости Г построены две параллельные прямые 12 и 34.

Прямая а, перпендикулярная, например, прямой 12 и пересекающая ее в точке Е, будет перпендикулярна и прямой 34 (скрещиваться с ней под прямым утлом), но не обязательно перпендикулярна гоюскости Г. Поворачивая мысленно прямую а вокруг прямой 12 как оси вращения, нетрудно представить, что названные прямые углы при таком вращении будут сохраняться, а наклон прямой а к плоскости Г — изменяться.

Рис. 8.1

Рис. 8.2

При построении перпендикуляра к плоскости на чертеже (рис. 8.3, 8.4) в плоскости следует, очевидно, построить не случайно выбранные пересекающиеся прямые, а такие прямые, к той или иной проекции которых мы можем построить соответствующую проекцию перпендикуляра под прямым углом на основании свойства проецирования прямого угла (см. п. 4.3).

Рис. 8.3

Вспоминая это свойство, отметим, что при проецировании на фронтальную плоскость проекций изобразится в натуральную величину прямой угол между перпендикуляром (т на рис. 8.3, 8.4) и такой прямой плоскости, которая параллельна фронтальной плоскости проекций. Этой прямой плоскости является фронталь (/). Поэтому, если в пространстве перпендикуляр (т) перпендикулярен какой-либо фронтали плоскости (/), то фронтальная проекция перпендикуляра (т2) перпендикулярна фронтальной проекции фронтали плоскости (f2). Очевидно, на горизонтальную плоскость проекций прямой угол между перпендикуляром (т) и фронта- лью (f) уже не будет проецироваться в виде прямого утла, так как ни одна из сторон его (ни т, ни f) не параллельна горизонтальной плоскости. Но на горизонтальную плоскость проекций должен проецироваться в натуральную величину прямой угол между перпендикуляром (т) и такой прямой плоскости, которая параллельна горизонтальной плоскости. Эта прямая плоскости — горизонталь (fr).

Рис. 8.4

Таким образом, если в пространстве перпендикуляр (т) перпендикулярен горизонтали плоскости (fr), то горизонтальная проекция перпендикуляра (т-^ перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали плоскости (/т1).

В свою очередь на фронтальную плоскость прямой угол между перпендикуляром (т) и горизонталью (h) уже не будет проецироваться в виде прямого.

Если прямая перпендикулярна плоскости, то фронтальная проекция этой прямой перпендикулярна к фронтальной проекции фронтали плоскости, а горизонтальная проекция прямой перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали плоскости.

Если перпендикуляр к плоскости не проходит через точку пересечения фронтали и горизонтали плоскости, то прямые углы строятся между соответствующими проекциями перпендикуляра и направлением проекций фронтали и горизонтали (рис. 8.5). В этом случае перпендикуляр скрещивается с фронталью и горизонталью плоскости под прямым углом. Обратим внимание, что точка пересечения перпендикуляра с плоскостью в этом случае еще не известна, и для ее определения нужно решить задачу построения точки пересечения прямой (т) и плоскости (пересекающихся прямых/и h).

На рис. 8.6 построен перпендикуляр (т) к плоскости (Г), заданной следами. Поскольку фронтальный след плоскости является одной из фронталей этой плоскости, то т2 JL/02r. Горизонтальный след является горизонталью плоскости, и ml _L Ь01Г. Точка пересечения перпендикуляра т с плоскостью Г на рис. 8.6 не построена.

но 8.5

Рис. 8.6

Задача (рис. 8.7)

Определить истинную величину расстояния от точки D до плоскости треугольника АВС.

Известно, что расстояние от точки до плоскости определяется длиной отрезка перпендикуляра, проведенного из точки к этой плоскости. План решения задачи следующий.

1. Строим проекции перпендикуляра из заданной точки D к заданной плоскости треугольника АВС.

Для этого предварительно нужно построить в плоскости АВС фрон- таль и горизонталь. Проекции фронтали и/2) и горизонтали (/г2 и ЬД построены из вершины треугольника С.

Далее из точки D строим проекции перпендикуляра: т2 -L// mllhl.

2. Определяем точку пересечения перпендикуляра с плоскостью АВС.

Для этого используем фронтально-конкурирующую с перпендикуляром вспомогательную прямую плоскости 34 (3242 = т2; 32 на В2С2, 42 на Д2С2).

Построив 3j и 4j по линиям связи, отмечаем точку ?г пересечения горизонтальной проекции вспомогательной прямой 3г4г с горизонтальной проекцией перпендикуляра ш,. Е2 строим по линии связи на т2. Точка Е (Е2Еi) — основание перпендикуляра т на плоскости АВС.

3. Находим истинную величину отрезка перпендикуляра DE, так как DE — прямая общего положения, и ее проекции D2E2 и DXEX не представляют истинной величины этого отрезка.

Рис. 8.7

Проводим ось проекций х12. На рис. 8.8 для сокращения количества построений ось х12 совмещена с фронтальной проекцией горизонтали Х12 ~ ^2-

Проводим дополнительную плоскость проекций параллельно отрезку DE и перпендикулярно плоскости проекций П^ осьх14 11 D^.

Строим линии связи ЕХЕЛ J. х14 и DXD41 х14

Измерив расстояние от D2 до оси х12 откладываем его от оси х14 до точки П4. Расстояние от Е2 до х12 откладываем от х14 до ?4. Отрезок D4?4 равен истинной (натуральной) величине отрезка перпендикуляра DE — расстояния точки D от плоскости АВС.

Построение проекций перпендикуляра к плоскости частного положения и определение истинной величины расстояния от точки до плоскости частного положения является более простой задачей, чем рассмотренная выше.

На рис. 8.9 плоскость треугольника DEF — горизонтально-проециру- ющая. Перпендикуляр MN, проведенный к этой плоскости из заданной точки М, будет горизонтальной прямой, поэтому M2N2 параллельна оси х или перпендикулярна линиям связи. М1АГ1 перпендикулярна D1?1F1, так как все прямые плоскости DEF, в том числе и горизонтали, проецируются на плоскость Пх в виде прямой Точка пересечения перпендикуляра

с плоскостью N определяется сначала на горизонтальной проекции (А^), затем по линии связи строится N2. Истинная величина отрезка перпендикуляра от точки М до плоскости равна горизонтальной проекции перпендикуляра MXNV

Рис. 8.8

На рис. 8.10 определено расстояние от точки М до фронтально-проеци- рующей плоскости А, заданной следами. Фронтальная проекция перпендикуляра M2N2 перпендикулярна фронтальной проекции фронтального следа/02А, горизонтальная M1iV1 — горизонтальной проекции горизонтального следа h01A. Точка пересечения перпендикуляра с плоскостью N определяется на фронтальной проекции (iV2). Ыг строится по линии связи. Поскольку MN параллелен фронтальной плоскости проекций, M2N2 — его истинная величина.

Рис. 8.10

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >