Способ вращения вокруг проецирующих прямых

Сущность всех способов вращения заключается в движении, повороте проецируемого объекта при неизменном положении плоскостей проекций. Объект при этом изменяет свое расположение, как правило, относительно основных плоскостей проекций, на которых и строят его изображение.

Рассмотрим, как происходит вращение точки вокруг проецирующей прямой и как оно отражается на плоскостях проекций — как перемещаются проекции вращающейся точки (рис. 9.11, 9.12).

В данном примере ось вращения i горизонтально-проецирующая прямая, ее горизонтальная проекция — точка, фронтальная проекция i2 — прямая, перпендикулярная оси проекций х.

Исходное положение вращающейся точки А — на некотором расстоянии от оси i и плоскостей П2 и П4. Опустив перпендикуляр из точки А на ось вращения ?, определим радиус вращения г и центр вращения точку О. Заметим, что АО — горизонтальная прямая, ее фронтальная проекция А202 параллельна оси проекций х и перпендикулярна i2. Горизонтальная проекция AjOj представляет натуральную величину радиуса вращения г.

Повернем точку А вокруг оси i в положение А. Движение это будет происходить в плоскости, перпендикулярной оси i и параллельной горизонтальной плоскости проекций, траектория движения — дуга окружности, которая проецируется на фронтальную плоскость проекций в виде отрезка Л2Л2, перпендикулярного i2 и параллельного х. Горизонтальная проекция траектории — дуга окружности А1А1 — истинная величина натуральной дуги АА. Центр дуги АгАъ точка Оь совпадает с горизонтальной проекцией оси Ц, расстояние AjOj— натуральная величина радиуса вращения г.

На рис. 9.11—9.12 повернутая точка А занимает крайнее, наиболее удаленное влево (или от плоскости проекций П3) положение. Заметим, что при этом радиус вращения г будет параллелен фронтальной плоскости проекций: АО ||П2, его горизонтальная проекция rY параллельна оси х: АгОг ||х. При дальнейшем повороте точки А в положение А', ее фронтальная проекция перемещается по той же прямой А2А2 _L i2 в положение А2, удаляясь от А2 А2 и приближаясь к i2. Горизонтальная проекция продолжает двигаться по той же дуге окружности в положение А{.

Рис 9.11

Движение точки А вокруг оси i можно продолжить и далее. Сделаем основные выводы.

При вращении точки вокруг проецирующей оси одна проекция точки перемещается по окружности с центром в точке, в которую проецируется данная ось вращения, другая проекция движется по прямой, перпендикулярной второй проекции оси вращения, или параллельной соответствующей оси проекций.

Рис. 9.12

Если ось вращения i выбрать перпендикулярно плоскости проекций П2, то на эту плоскость П2 траектория вращения точки будет проецироваться в виде окружности, а на горизонтальную плоскость проекций П: — в виде отрезка прямой.

Разберем решения четырех основных задач способом вращения вокруг проецирующих прямых.

Задача 1 (рис. 9.13).

Преобразование прямой общего положения АВ в прямую уровня проведем вращением отрезка АВ вокруг горизонтально-проеци- рующей оси I. Для удобства решения ось вращения зададим через точку, принадлежащую отрезку, например, через точку В. Тогда й = Bi> h -L х и проходит через В2. При вращении отрезка АВ точка В будет неподвижна, поскольку принадлежит оси вращения. Точка А вращается, при этом Аа движется по дуге с центром в точке ij = Вг и радиусом, равным AjBj. А2 движется по прямой, перпендикулярной i2. Остановить вращение точки А нужно в тот момент, когда повернутый отрезок АВ станет параллелен фронтальной плоскости проекций. Очевидно, горизонтальная проекция отрезка А1В1 в этом положении должна быть параллельна оси проекций х. Поэтому зафиксируем положение точки А1} когда проекция А1В1 займет указанное положение, и построим фронтальную проекцию повернутой точки А2, проведя линию связи из А} вверх до пересечения с фронтальной проекцией траектории движения точки А. Определив таким образом точку А2 и соединив ее с неподвижной точкой В22, получим фронтальную проекцию А2В2 повернутого отрезка. А2В2 представляет истинную величину отрезка АВ, а угол а2 — истинную величину угла наклона отрезка к плоскости проекций П2.

Заметим, что для преобразования прямой общего положения в горизонтальную прямую вращение нужно проводить аналогично, но вокруг фронтально-проецирующей оси.

Второй вариант решения задачи преобразования прямой общего положения АВ в прямую уровня показан на рис. 9.14. Здесь ось вращения i также горизонтально-проецирующая, но не пересекает заданный отрезок АВ, а скрещивается с ним. Решение данной задачи несколько сложнее рассмотренного выше примера на рис. 9.13, но в некоторых случаях приходится проводить вращение отрезка именно вокруг скрещивающейся с ним оси, поэтому рассмотрим и этот вариант.

Рис. 9.13

Рис. 9.14

При вращении отрезка АВ на рис. 9.14 проекции его точек А2 и В2 движутся по прямым, перпендикулярным i2, проекции точек Ах и Вг — по окружностям с центром в точке iv Однако, в отличие от рис. 9.13, для точного определения местоположения горизонтальной проекции отрезка после поворота, когда он станет параллелен фронтальной плоскости проекций, требуется дополнительное построение. Другими словами, требуется определить момент, когда нужно остановить вращение точек А1 и В1 на горизонтальной проекции.

Решить эту задачу поможет общий перпендикуляр между скрещивающимся прямыми: осью вращения i и отрезком АВ. Построение такого перпендикуляра проведем в следующем порядке. Поскольку ось вращения г — горизонтально-проецирующая прямая, все перпендикуляры к ней являются горизонтальными прямыми. Следовательно, прямой угол между искомым перпендикуляром и отрезком АВ проецируется на горизонтальную плоскость проекций в виде прямого угла, так как одна сторона его — сам перпендикуляр — параллельна этой плоскости. Ось i проецируется на горизонтальную плоскость проекций в виде точки, поэтому и точка пересечения перпендикуляра с осью i (точка 1 на рис. 9.14) совпадает на горизонтальной проекции с проекцией оси ?; ix = 1Х. Строим горизонтальную проекцию перпендикуляра, проведя прямую из точки ix = 1г перпендикулярно АХВХ и отмечаем точку 2г ее пересечения с А1В1. Фронтальную проекцию точки 22 определяем по линии связи. Фронтальную проекцию перпендикуляра 2212 проводим параллельно осих или перпендикулярно i2.

Далее заметим, что при вращении отрезка АВ вокруг оси i взаимное положение отрезка АВ, оси i и перпендикуляра 12 не изменяется, но когда отрезок АВ станет параллелен фронтальной плоскости проекций, перпендикуляр 12 будет перпендикулярен этой плоскости. Повернем перпендикуляр 12 вокруг оси i до указанного фронтально-проецирующего положения. Точка 1, принадлежащая оси, не изменит своего положения. Точка 2 на фронтальной проекции перемещается по прямой параллельной оси проекций х, на горизонтальной — по окружности с центром в точке = 1х.

Остановим вращение перпендикуляра, когда его горизонтальная проекция 1Х2Х станет перпендикулярна оси проекции х, фронтальная проекция перпендикуляра в этом положении — точка 12 = 22, принадлежащая ?2. Теперь можно достроить проекции повернутого отрезка АВ.

Сначала построим горизонтальную проекцию: направление AjBx перпендикулярно 1121. Точки Ах и Вг построим, отложив от точки 2Х отрезки 2Х Ах = 21 Ах и 2г Вх = 2Х Вх, не изменившиеся после поворота. Заметим также, что точки Ах и Вх находятся на дугах окружностей — проекциях траекторий движения этих точек. Определив АХВХ, построим точки А2 и В2 с помощью линий связи на фронтальных проекциях траекторий перемещения этих точек. Отметим, что А2В2 проходит через точку 22 = 12. А2В2 — истинная величина отрезка АВ.

Задача 2 (рис. 9.15).

Преобразование прямой общего положения АВ в проецирующую проводится в два этапа.

Предварительно нужно решить задачу 1 и преобразовать прямую АВ в прямую уровня. На рис. 9.15 на первом этапе прямая АВ после поворота вокруг фронтально-проецирующей оси i, проведенной через точку В, стала параллельна горизонтальной плоскости проекций. Все действия и построения на этом этапе аналогичны описанным к рис. 9.13. Заметим только, что, если мы хотим сделать прямую общего положения параллельной фронтальной плоскости проекций, то вращать прямую нужно вокруг горизонтально-про- ецирующей оси (рис. 9.13), а если прямая должна стать параллельной горизонтальной плоскости, то вращать прямую нужно вокруг фронтально-проецирующей оси (рис. 9.15). _

Итак, после первого поворота на рис. 9.15_прямая АВ заняла горизонтальное положение и проекции ее стали А2В2 и А^. Вводим вторую ось вращения, на этом этапе горизонтально-проецирующую — i'. Задаем для удобства построения эту ось через точку А. Далее вращаем прямую АВ вокруг оси V до фронтально-проецирующего положения, при этом горизонтальная проекция прямой перемещается в положение А{В{ — перпендикулярно оси проекций х, фронтальная проекция прямой будет точка А^В^.

Рис. 9.15

Если бы требовалось преобразовать прямую общего положения в горизонтально-проецирующую, то первым этапом было бы вращение прямой вокруг горизонтально-проецирующей оси в положение, параллельное фронтальной плоскости (как на рис. 9.13). Затем нужно ввести фронтально-проецирующую ось и вращать прямую вокруг нее в горизонтально-проецирующее (вертикальное) положение (если перевернуть рис. 9.15 «вверх ногами» так, чтобы горизонтальная и фронтальная проекции поменялись местами, тогда названные действия на нем и отразятся).

Задача 3 (рис. 9.16).

Преобразование плоскости общего положения АВС в проецирующую. Проведем вращение вокруг горизонтально-проецирующей оси I. При вращении плоскости АВС вокруг такой оси наклон этой плоскости к горизонтальной плоскости проекций изменяться не будет, но зато будет изменяться наклон к фронтальной плоскости проекций, поэтому при данном вращении можно найти такое положение плоскости АВС, когда она станет перпендикулярна фронтальной плоскости. Как определить момент, в который остановить вращение? Очевидно, если плоскость АВС станет перпендикулярна фронтальной плоскости проекций, в плоскости АВС какая-либо прямая, принадлежащая этой плоскости, должна быть также перпендикулярна фронтальной плоскости (вспомним, что плоскость перпендикулярна другой плоскости, если содержит перпендикуляр к этой плоскости). Какие прямые плоскости АВС могут стать перпендикулярными фронтальной плоскости проекций после поворота? Очевидно, только горизонтали плоскости АВС. Поэтому при вращении плоскости АВС нужно прежде всего построить одну из ее горизонталей и вращать плоскость вместе с горизонталью до положения, при котором горизонталь станет перпендикулярна фронтальной плоскости проекций.

Построим на рис. 9.16 горизонталь h треугольника АВС через вершину Л. Горизонтально-проецируюшую ось вращения i зададим для большей простоты построений пересекающей горизонталь h при ее продолжении вне треугольника.

Рис. 9.16

Поворачиваем горизонталь во фронтально проецирующее положение h. Принадлежащие горизонтали точки Л и 1 перемещаются на горизонтальной проекции по дугам окружностей с центром в точке в положение А1 и Отрезок Аг перпендикулярен оси проекций х и равен отрезку А111. Фронтальные проекции точек Аг и 1] перемещаются при этом_по прямой, параллельно оси проекций х. После поворота точки А2 и12 совпадают с фронтальной проекцией повернутой горизонтали h2 и располагаются на фронтальной проекции оси вращения i2.

Далее строим проекции треугольника АВС в повернутом положении. Для построения горизонтальной проекции повернутого треугольника используем построенную уже горизонтальную проекцию его повернутой горизонтали с точками Аг и 1г как базу будущего построения. Заметим, что при данном вращении конфигурация и размеры горизонтальной проекции треугольника А1В1С1 не меняются, проекция только меняет свое расположение, поворачивается. Проведем горизонтальные проекции траекторий движения точек В и С — дуги окружностей с центром в точке iv Измерив циркулем расстояние отуточки lj до точки Вь сделаем этим радиусом (R) засечку из точки на траектории движения точки Вг и построим таким образом горизонтальную проекцию повернутой точки Вг. Измерив расстояние от точки 1г до точки С1? сделаем этим радиусом (г) засечку на траектории движения точки Сг и построим Q.

Далее с помощью линий связи, проведенных из точек В} и Q вверх до пересечения с фронтальными проекциями траекторий движения точек В и С, построим фронтальные проекции повернутых точек В2 и С2. Отметим, что фронтальная проекция повернутого треугольника В2А2С2 — отрезок прямой, проходящий через точку A2 = l2=h2. Угол между прямой В2С2 и осью проекций х равен углу наклона плоскости АВС к горизонтальной плоскости проекций.

Для преобразования плоскости общего положения в горизонталь- но-проецирующую, вращение производится аналогично, но вокруг фронтально-проецирующей оси и с использованием фронтали вращаемой плоскости в качестве базы построений (перевернув «вверх ногами» рис. 9.16, когда горизонтальная и фронтальная проекция поменяются местами, а горизонталь треугольника станет в этом положении его фронталью, можно проследить те же этапы построений).

Задача 4 (рис. 9.17)

Преобразование плоскости общего положения АВС в плоскость, параллельную плоскости проекций, производится в два этапа вращения. Первое вращение на рис. 9.17 аналогично описанному выше на рис. 9.16: плоскость АВС после поворота вокруг горизонтально проецирующей оси i преобразована во фронтально проецирующую (ее проекции в этом положении В2А2С2 и В^СД. Далее проводим вторую ось вращения Г, перпендикулярную фронтальной плоскости проекций, и для удобства построений расположенную в плоскости повернутого треугольника АВС (на рис. 9.17 Г проходит через вершину С). Поворачиваем треугольник вокруг второй оси вращения до положения, когда его плоскость станет параллельна горизонтальной плоскости проекций. При этом повороте фронтальные проекции точек А2 и В2 двигаются по окружности с центром в точке i2, точка С2 остается неподвижной, как принадлежащая оси вращения. Горизонтальные проекции точек Ах и В1 двигаются по прямым, параллельным оси проекция х, точка Q — неподвижна. После поворота треугольника в горизонтальное положение, его фронтальная проекция С2А2В2 станет параллельной оси проекций х. Горизонтальную проекцию повернутого треугольника построим с помощью линий связи, проведенных из точек А2 и В2 вниз до пересечения с прямыми, по которым движутся точки А1 и Bv А[В{С{ — истинная величина треугольника АВС.

Рис. 9.17

Для преобразования плоскости общего положения в плоскость, параллельную фронтальной плоскости проекций, нужно сначала заданную плоскость повернуть вокруг фронтально-проецирующей оси, и сделать плоскость перпендикулярной горизонтальной плоскости проекций, затем повернуть плоскость вокруг горизонталь- но-проецирующей оси до положения, параллельного фронтальной плоскости проекций (переверните рис. 9.17 «вверх ногами» и повторите этапы построения).

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >