Показательный тренд

(5.38)

Данный вид тренда на практике обычно заменяется экспоненциальным, так как любую показательную функцию можно представить в виде экспоненциальной , если принять , то

(5.39)

Экономисты предпочитают использовать модель (5.39), а не (5.38), так как в ней коэффициенту b1 можно дать простую и красивую интерпретацию: с каждым наблюдением у будет увеличиваться на – коэффициент характеризует то, на сколько процентов изменяется у во времени.

Нас, однако, интересует не интерпретация коэффициентов моделей, а то, какие именно тенденции они описывают. В данном случае как показательный, так и экспоненциальный тренды описывают либо рост со взрывным ускорением, либо снижение с замедлением.

Если рассмотреть модель (5.38), то по основанию a1 можно судить о том, с каким именно процессом мы имеем дело. Возможны четыре ситуации:

1. a1 > 1 процесс роста со взрывным ускорением.
2. 0 < a1 < 1 – процесс замедления с приближением к нулю.
3. –1 < a1 < 0 – замедление с приближением к нулю. В данном случае исследователь имеет дело с знакочередующимся рядом.
4. а1 < -1 – расходящийся процесс с чередованием знаков.

Последние две ситуации на практике встречаются крайне

редко (только в случае со специфическими сезонными рядами данных), так что исследователи ограничиваются первыми двумя. Причем вариант (1) со взрывным ростом в экономической практике встречается значительно реже, чем вариант (2) с замедлением, и может наблюдаться только на некоторых промежутках времени. Например, рост числа транзисторов, размещенных на кристалле интегральной схемы, по закону Мура удваивается каждые два года. Подобная тенденция как раз описывается экспонентой, однако в последнее время эксперты все чаще говорят о том, что закон Мура перестанет действовать уже в ближайшие годы (2013-2015).

Все упомянутые ситуации приведены на рис. 5.17.

Виды показательных трендов

Рис. 5.17. Виды показательных трендов

Стоит отметить, что только первые две из этих ситуаций соответствуют некоторым действительным значениям коэффициента ft, в экспоненциальном тренде:

1) a1 > 1 дает b1 > 0;
2) 0 < a1 < 1 дает b1 < 0.

Оставшиеся две ситуации соответствуют комплексным значениям b1, которые в принципе не используются на практике, но теоретически могут быть выведены через формулу логарифма комплексного числа. Представим -1 в виде комплексного числа в экспоненциальной форме:

, где

Тогда логарифм этого числа будет равен:

(5.40)

Если а1 будет меньше -1, то единственное, что изменится в формуле (5.40), – это действительная часть, которая будет равна не 0, а . Мнимая же часть комплексного коэффициента b1 будет оставаться такой же, как и в (5.40). В таком случае получаем следующее соответствие условий (3) и (4) в показательной функции условиям в экспоненциальной функции:

1) -1 < a1 < 0 дает ;
2) a1 < -1 дает

Эти условия пригодятся нам несколько позже.

Гиперболический тренд

(5.41)

Гиперболический тренд может быть характерен для процессов, в которых происходит некоторая стабилизация. Например, после внедрения инноваций по мере отладки производства затраты на выпуск продукции постепенно снижаются и приближаются к некоторому уровню. Именно такая тенденция может быть описана этим трендом.

Если a1 > 0, то тренд описывает тенденцию замедляющегося снижения. Если же a1 < 0, то он описывает процесс замедляющегося возрастания. Обе эти ситуации представлены на рис. 5.18.

Коэффициент a0 в (5.41) представляет собой асимптоту – уровень ряда, к которому процесс сходится во времени.

Виды гиперболических трендов

Рис. 5.18. Виды гиперболических трендов