Модель Хольта – Уинтерса и ее варианты

Продолжая логику модификаций метода Брауна, в 1960 г. студент Ч. Хольта, Π. Р. Уинтерс предложил модель с сезонной составляющей. Существующие две версии этой модели в нашей таксономии обозначаются следующим образом:

1. Модель с аддитивной сезонностью, ЕТS(A,A,A):

(7.70)

2. Модель с мультипликативной сезонностью, ETS(A,A,M):

В данном случае подразумевается, что в распоряжении исследователя имеется s стартовых сезонных коэффициентов. Получить их можно путем декомпозиции временно́го ряда одним из методов, рассмотренных в параграфе 6.1. Однако современный подход подразумевает, что все коэффициенты моделей экспоненциального сглаживания автоматически подбираются путем минимизации какого-нибудь критерия. Поэтому полученные s коэффициентов (так же, как и коэффициенты l0 и b0, рассчитываемые в данном случае по аналогии с моделью Хольта, только по предварительно десезонализированному ряду данных) обычно служат стартовыми значениями при подборе оптимальных значений.

В модели (7.70) можно заметить, что добавление некоторой константы а в уровень ряда и ее же вычитание в сезонной составляющей приводит к изменению компонент lt и сt:

В результате этого часть изменений, которые должны были уйти в трендовую составляющую, могут перейти в сезонную компоненту и наоборот. Казалось бы, это может вызвать серьезные проблемы при построении прогнозов, поэтому сезонные коэффициенты нужно каким-то образом нормализовать^[1]. Однако ни точечные, ни интервальные прогнозы в этом случае нс претерпевают существенных изменений. Поэтому проводить дополнительные преобразования с целью добиться более точной оценки компонент ETS не имеет смысла, причем не только в случае с аддитивной сезонностью, но и в случае с мультипликативной.

Стоит обратить внимание, что при построении модели Хольта – Уинтерса исследователю требуется помимо трех постоянных сглаживания подобрать еще s сезонных коэффициентов и два коэффициента для оценки трендовой компоненты. Это нетривиальная задача, которая, очевидно, приводит к появлению большого количества локальных минимумов. Проблема усугубляется тем, что границы, в которых лежат постоянные сглаживания, в модели значительно сложнее. В случае с ненормализованными сезонными коэффициентами вывести их вообще не представляется возможным, а в случае с нормализованными – для их вывода требуется решить нелинейное уравнение^[2].

Для того, чтобы построить эти модели, в распоряжении исследователя должен быть ряд данных, состоящий хотя бы из трех периодов. По первому периоду рассчитываются сезонные коэффициенты, по второму – строится сама модель (но в расчете используются еще не адаптированные сезонные коэффициенты из первого периода) и только по третьей части можно подобрать оптимальные постоянные сглаживания для сезонной компоненты (из-за лага сезонности s).

Например, для построения прогноза ежемесячных продаж продукции с января по декабрь 2013 г. с помощью модели Хольта – Уинтерса нужно располагать данными хотя бы начиная с января 2010 г.

Рассмотрим на примере ряда № 1683 прогноз по модели Хольта – Уинтерса.

Постоянные сглаживания для моделей получились следующими:

1. Для аддитивной модели:

2. Для мультипликативной модели:

Как видим, для этого ряда данных как в случае с аддитивной, так и в случае с мультипликативной сезонностью оптимальная β равна 0. Постоянная сглаживания для сезонных коэффициентов также очень близка к нулю и различается незначительно. Единственное различие заключается в постоянной сглаживания а, которая в итоге сыграла важную роль в прогнозе. На рис. 7.16 приведены как аддитивная (сверху), так и мультипликативная (снизу) модели Хольта – Уинтерса и прогнозы по ним.

Как видим, модель с аддитивной сезонностью оказалась точнее модели с мультипликативной сезонностью (которая слишком задралась по сравнению с реальными полученными значениями), что, судя по всему, вызвано именно значением а. Если сравнивать точность прогнозов по полученным ошибкам аппроксимации, то для первой модели она составила 7,43%, а для второй – 12,58%.

Продолжая логику модели Хольта, для модели Хольта – Уинтерса так же была предложена модификация с демпфированным трендом^[3]. В табл. 7.6 это модели ЕТБСЛД/,/!):

(7.72)

Рис. 7.16. Ряд данных № 1683 из базы М3 и его прогноз на 18 наблюдений вперед с помощью модели Хольта – Уинтерса с аддитивной (сверху) и мультипликативной (снизу) сезонностью:

сплошная линия – фактические значения; прерывистая – расчетные значения

и ETS(A,Ad,M):

(7.73)

Очевидно, что и без того сложная задача подбора оптимальных коэффициентов в данном случае еще усложняется: помимо s сезонных коэффициентов, двух стартовых коэффициентов для трендовой компоненты и трех постоянных сглаживания, нужно подобрать еще и значение коэффициента демпфирования. Тем не менее, как показывают испытания М3 – Competition^[4], точность прогноза за счет добавления φ возрастает.

Рассмотрим, каким получится прогноз ряда № 1683 по моделям (7.72) и (7.73). В результате подбора параметров были найдены следующие постоянные сглаживания:

1. Для аддитивной модели:

2. Для мультипликативной модели:

В первую очередь в глаза бросается то, что сезонность в обеих моделях никак не адаптируется. В первой модели незначительно адаптируются трендовые компоненты. Во второй – чуть сильнее, чем в первой, адаптируется уровень ряда. Коэффициенты демпфирования в обеих моделях оказались достаточно большими, что указывает на то, что тренд в соответствии с моделью будет представлять собой практически прямую линию. На рис. 7.17 приведены обе модели.

Видно, обе модели дали более точные прогнозы, нежели простая модель Хольта – Уинтерса. Ошибки получились соответственно 6,04% и 6,12%. Обращает внимание то, что сезонные коэффициенты никак не адаптируются во времени, в связи с чем модель Хольта – Уин-

Рис. 7.17. Ряд данных № 1683 из базы М3 и его прогноз на 18 наблюдений вперед с помощью модели Хольта – Уинтерса с демпфированным трендом с аддитивной (сверху) и мультипликативной (снизу) сезонностью:

сплошная линия – фактические значения; прерывистая – расчетные значения

терса с демпфированным трендом можно упростить до модели Хольта с демпфированным трендом, построенной по десезонадизированному ряду данных.

Отметим, что для рассматриваемого ряда № 1683 простая модель экспоненциального сглаживания сезонных уровней (рассмотренная нами ранее в параграфе 7.3) дала сопоставимые по точности прогнозы, но при этом потребовала значительно меньше расчетов, нежели модели, рассмотренные нами в этом параграфе.

Авторы: Светуньков Иван, Светуньков Сергей

• [1] Hyndman Rob /., Koehler Anne В., Ord J. Keith, Snyder Ralph D. Forecasting with Exponential Smoothing: The State Space Approach. Springer- Verlag Berlin Heidelberg, 2008. P. 125.
• [2] Ibid. P. 157.
• [3] Gardner Everette S., McKenzie Ed. Seasonal Exponential Smoothing with Damped Trends // Management Science. 1989. Vol. 35. № 3. P. 372–376.
• [4] Makridakis, S„ & Hibon, М. The М3 – competition: Results, conclusions and implications // International Journal of Forecasting. 2000. № 16. P. 451-476.