Связь между ARIMA и экспоненциальным сглаживанием

Между моделями ARIMA, рассмотренными нами в данной главе, и моделями экспоненциального сглаживания, рассмотренными нами η гл. 7, существует связь. Одно время статистики, обратив внимание на то, что многие модели экспоненциального сглаживания являются частными случаями моделей ARIMA, пришли к выводу о том, что первые и вовсе не нужны. Однако это заключение впоследствии было признано ошибочным[1] по следующим причинам:

  • 1. Не все модели ETS имеют аналоги в моделях ARIMA. Например, нелинейные модели экспоненциального сглаживания (с мультипликативной ошибкой, трендом или сезонностью) не имеют аналогов среди моделей ARIMA.
  • 2. Модели экспоненциального сглаживания строятся, исходя из конечных стартовых значений, а модели ARIMA предполагают, что временно́й ряд имеет бесконечное прошлое.
  • 3. Все модели ARIMA стационарны, так как этого требует методология Бокса – Дженкинса, в то время как практически все модели экспоненциального сглаживания по сути своей нестационарны.
  • 4. Эти два разных класса моделей основаны на совершенно разных подходах, которые дают соответственно разные результаты при прогнозировании.

Тем не менее модели связаны друг с другом, и выражение моделей экспоненциального сглаживания через модели ARIMA может быть полезным, так как позволяет по-другому взглянуть на эти модели.

Покажем на нескольких примерах эту связь. Удобнее всего выявлять ее на моделях в форме коррекции ошибок, представленных в табл. 7.6.

Для начала рассмотрим простейшую модель – модель Брауна, ETS(A,N,N). Напомним ее математическую формулу:

Приводя модель (8.76) к "уменьшенному виду", т.е. к виду одного уравнения, получим

(8.76)

(8.77)

Далее, используя первое равенство в системе (8.76), заменим lt-1 в (8.77):

Затем заменим расчетные значения на фактические с ошибками:

Перенесем yt в левую часть и сгруппируем ошибки в правой. Получим

(8.78)

Если теперь в левой части (8.78) ввести разностный оператор, а (α – 1) заменить на коэффициент c1, то мы получим модель

или. (8.79)

Перед нами модель ARIMA(0,1,1). Используя модель (8.79), можно не только произвести оценку коэффициента при помощи стандартного подхода, но, например, еще и вывести ограничения на постоянную сглаживания а. Так, для выполнения свойства обратимости модели для модели МА(1) должно выполняться условие , которое соответствует условию , из которого, в свою очередь, следует знакомое нам условие 0 < α < 2.

Стоит отдельно отметить, что в случае, когда α = 0, модель Брауна еще имеет какой-то смысл (ряд данных описывается стартовым значением, в качестве которого может выступать, например, средняя величина), а вот в модели МА(1) эквивалентное ему условие c1 = 1 уже неприемлемо, так как в таком случае модель теряет свойство обратимости.

Рассмотрим для примера еще одну модель – модель Хольта, ETS(A,A,N), которая описывается системой уравнений:

(8.80)

Первое уравнение в системе (8.80) может быть переписано через фактическое значение с ошибкой:

(8.81)

Подставим второе и третье уравнения в первое в (8.80), а также подставим вместо расчетного значения (8.81):

Используя (8.81), заменим сумму уровня с коэффициентом прироста:

(8.82)

Теперь выразим из (8.81) bt-1 и подставим его в (8.82):

заменим значение /t_2 на значение из второго уравнения в (8.80), попутно используя (8.81):

(8.83)

Теперь перегруппируем значения в (8.83) так, чтобы все yt находились в левой части, а все ошибки – в правой:

и вынесем все одинаковые ошибки за скобки:

(8.84)

В левой части (8.84) представлено не что иное, как вторая разность по уt, которую мы обычно записывали следующим образом:

(8.85)

Подставляя (8.85) в (8.84) и переходя к лаговым операторам, придем к финальной формуле:

(8.86)

Если в этой формуле заменить (α+β-2) на c1, а (l-α) на с2, то мы придем к модели АRIМА(0,2,2):

Из этой же модели, в свою очередь, можно получить ограничения на постоянные сглаживания (7.67) в модели Хольта.

По аналогии с этими двумя примерами можно показать, что многие другие модели экспоненциального сглаживания имеют аналоги среди моделей ARIMA. В частности:

  • 1) ETS(A,Ad,N) эквивалентна ARIMA( 1,1,2);
  • 2) ETS(A,N,A) эквивалентна SARlMA(0,0,s) × (0,1,0)s;
  • 3) ETS(A,A,A) эквивалентна SARIMA(0,l,s+1) × (0,1,0)s;
  • 4) ETS(A,Ad,A) эквивалентна SARIMA(l,0,s+l) × (0,1,0)s.

Мультипликативные модели ETS аналогов среди ARIMA не имеют.

  • [1] Hyndman Rob /., Koehler Anne В., Ord J. Keith, Snyder Ralph D. Forecasting with Exponential Smoothing: The State Space Approach. Springer- Verlag Berlin Heidelberg, 2008. P. 168.
 
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ     След >