Модели экспоненциального сглаживания

Универсальной формулы для вывода дисперсии для всех моделей экспоненциального сглаживания не существует, поэтому их нужно рассматривать по отдельности. В зависимости от учета ошибок, а также типа тренда все модели ETS можно разделить на классы[1], представленные в табл. 9.1.

Таблица 9.1

Классы моделей по методу расчета дисперсии

Класс модели

Тип сезонности

N

A

Μ

Класс 1

Λ,Ν,Ν

Α,Α,Ν

AAd,N

Α,Ν,Α A,A,A A,Ad,A

Класс 2

Μ,Ν,Ν

M,A,N

Μ,Αd,Ν

Μ,Ν,Α Μ,Α,A Μ,Αd,A

Класс 3

Μ,Ν,Μ

Μ,Α,Μ

Μ,Αd,,Μ

Класс 4

Μ,Μ,Ν

Μ,Μd,Ν

М,М,М

Μ,Μd,Μ

Класс 5

Α,Μ,Ν

Α,Μd,Ν

Α,Μ,A A,Μd,A Μ,Μ,Α M,Md,A

Α,Ν,Μ Α,Α,Μ Α,Αd,Μ A,M,Μ Α,Μd,Μ

Классы объединяются по следующему принципу:

  • 1. Класс 1 – линейные модели с аддитивной ошибкой.
  • 2. Класс 2 – линейные модели с мультипликативной ошибкой.
  • 3. Класс 3 – модели с линейным трендом, но мультипликативной ошибкой и сезонной компонентой.
  • 4. Класс 4 – модели с мультипликативной ошибкой и трендовой компонентой и либо без сезонности, либо с мультипликативной сезонностью.
  • 5. Класс 5 – тяжело оцениваемые модели с сочетанием аддитивных и мультипликативных элементов.

Аналитические формулы для дисперсии можно вывести только для моделей первых трех классов. Для последних двух классов рекомендуется пользоваться непараметрическими методами. Модели класса 5 могут вызывать численные сложности при построении долгосрочных точечных прогнозов.

Рассмотрим, как можно рассчитать дисперсию для моделей из первого класса, на примере модели Брауна.

В соответствии с формой коррекции ошибок из табл. 7.6 будущее значение yt по ETS(Α,Ν,Ν) на h шагов вперед может быть записано в виде

Чтобы корректно рассчитать дисперсию, далее делается предположение о том, что модель (9.20) лежит в основе процесса, а значит, вплоть до шага h уровень будет адаптироваться к ошибкам. Первое уравнение из системы переписывается в виде

Теперь подставим в (9.21) вместо lt+h_1 значение, рассчитанное по второму уравнению из системы (9.20):

Продолжая итеративно подставлять вместо It расчетные значения, полученные на основе второго уравнения в (9.20), получим

(9.22)

Затем рассчитаем условную дисперсию (9.22) с учетом наших базовых предположений:

(9.20)

(9.21)

(9.23)

Формула (9.23) считается наиболее корректной для расчета дисперсии в модели Брауна. Использование вместо нее просто дисперсии ошибок некорректно, так как такое допущение не учитывает структуру экспоненциального сглаживания.

На основе полученной дисперсии можно легко рассчитать прогнозный интервал для модели Брауна:

(9.24)

Рассмотрим, каким получится прогнозный интервал для метода Брауна на примере ряда № 41. Мы уже делали точечный прогноз для этого ряда, на рис. 9.7 показаны точечный и интервальный прогнозы по модели Брауна с первым методом задания стартового значения.

Ряд данных № 41 (сплошная линия с точками), точечный (сплошная линия) и интервальный (пунктирные линии) прогнозы по нему, полученные по методу Брауна

Рис. 9.7. Ряд данных № 41 (сплошная линия с точками), точечный (сплошная линия) и интервальный (пунктирные линии) прогнозы по нему, полученные по методу Брауна

Можно обратить внимание на то, что первое прогнозируемое фактическое значение не попало в доверительный интервал, хотя верхняя граница оказалась достаточно близко к нему. Все же остальные значения, вплоть до значения на 1994-й г., оказались лежащими внутри интервала. Правда, сам интерват оказался очень широким, таким, что границы на 1994-й г. получились (2284; 8589). Однако, если бы он был у́же, то, скорее всего, некоторые значения просто не попали бы в него. Здесь мы сталкиваемся с классической проблемой: в слишком узкие интервалы попадает меньшее число значений, что приводит к недооценке показателя, в то время как слишком широкие границы не несут полезной информации.

Дисперсии по другим моделям класса 1 выводятся по аналогии с дисперсией для модели Брауна. В табл. 9.2 приведены параметры, позволяющие рассчитать дисперсию для каждого из методов классов 1 и 2.

Таблица 9.2

Параметры методов классов 1 и 2, использующиеся при расчете дисперсии

Модель

Ст

Примечание: dτ = 1, если τ = 0 и dτ = 0 во всех остальных случаях.

Для расчета дисперсии моделей класса 1 используется формула

(9.25)

Можно заметить, что дисперсия для моделей класса 1 зависит от срока прогнозирования. Причем если в модели есть трендовая компонента, то эта зависимость носит нелинейный характер – интервалы в таком случае будут быстрее расширяться, нежели в случае отсутствия такой компоненты.

Из-за того, что мультипликативная модель экспоненциального сглаживания отличается от аддитивной лишь формой ошибки, параметры, приведенные в табл. 9.2, могут быть с успехом применены для расчета дисперсий моделей класса 2. Однако, очевидно, что сама формула должна отличаться от (9.25)[2]:

(9.26)

где

(9.27)

Как мы уже обсуждали, аддитивная модель отличается от мультипликативной лишь тем, как строится доверительный интервал – точечные прогнозы в них абсолютно идентичны.

Посмотрим на примере ряда № 41, как различаются интервальные прогнозы по модели ETS(A,N,N) и ETS(М,N,N) (рис. 9.8).

Ряд данных № 41 (сплошная линия с точками), точечный (сплошная линия) и интервальный (серые области, соответствующие 95% и 80%) прогнозы по нему, полученные по методу Брауна

Рис. 9.8. Ряд данных № 41 (сплошная линия с точками), точечный (сплошная линия) и интервальный (серые области, соответствующие 95% и 80%) прогнозы по нему, полученные по методу Брауна

Как видим, интервалы, построенные для модели с мультипликативной ошибкой, оказались значительно шире интервалов по модели с аддитивной ошибкой, причем, в общем-то, неоправданно шире – уже на 1992 г. нижняя граница уперлась в отметку "О", а верхняя перевалила за 10 000, что совершенно не информативно, учитывая точечный прогноз примерно в 5500. Однако, если в данном случае прогнозный интервал по модели Брауна получился слишком широким, это не говорит о том, что для другого ряда с другой моделью он так же будет шире интервала с аддитивной ошибкой. В каждом конкретном случае нужно принимать индивидуальное решение о том, какую модель выбрать.

Последний класс моделей экспоненциального сглаживания, для которых мы рассмотрим метод построения параметрических прогнозных интервалов, – это модели класса 3. Дисперсия для этих моделей должна учитывать мультипликативную сезонную составляющую и рассчитывается так, как это показано в табл. 9.3.

Таблица 9.3

Параметры методов класса 3, использующиеся при расчете дисперсии

Модель

Как видим, значения введенного параметра cj для моделей класса 3 совпадает со значениями для первых трех моделей классов 1 и 2. В столбце приведены формулы для расчета прогнозов по трендовой компоненте.

Формула расчета дисперсии для методов класса 3 выглядит несколько сложнее формулы (9.26) и имеет вид

(9.28)

где

(9.29)

Стоит заметить, что с помощью формул (9.28) и (9.29) для прогноза на период h > s можно получить лишь приблизительную оценку дисперсии. Более точные формулы более громоздки, однако при этом не дают значительного повышения точности прогноза.

  • [1] Hyndman Rob J., Koehler Anne B., Ord,/. Keith, Snyder Ralph D. Forecasting with Exponential Smoothing: The State Space Approach. Springer- Verlag Berlin Heidelberg, 2008. P. 76.
  • [2] Hyndman Rob J., Koehler Ате В., Ord J. Keith, Snyder Ralph D. Указ. соч. C. 83.
 
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ     След >