МЕТОД НЕРАВНОМЕРНОГО СГЛАЖИВАНИЯ

В результате освоения данной главы студент должен:

знать

• • основные результаты новейших исследований по проблемам повышения точности социально-экономических прогнозов;
• • современные подходы и методы адаптивной оценки коэффициентов прогнозных моделей;

уметь

• • применять модификации метода стохастической аппроксимации и иных рекуррентных методов для адаптации коэффициентов прогнозных моделей;
• • выявлять перспективные направления научных исследований в области современной прогностики, обосновывать актуальность, теоретическую и практическую значимость адаптивных методов прогнозирования;
• • формулировать гипотезы, проводить эмпирические и прикладные исследования с целью выбора лучшего метода и модели прогнозирования;

владеть

• • методом неравномерного сглаживания;
• • методом определения лучшего значения параметра демпфирования колебаний;
• • навыками самостоятельной научной и исследовательской работы в части адаптации эконометрических прогнозных моделей методом неравномерного сглаживания.

Метод стохастической аппроксимации и его модификация

В технической кибернетике часто приходится решать задачи, когда объект управления представляет собой сложную систему, структура и взаимосвязи между элементами которой исследователю неизвестны. Поэтому объект представляется в виде "черного ящика" (рис. 11.1).

Рис. 11.1. Объект исследования как "черный ящик"

Исследователю необходимо найти такое управляющее воздействие х на систему из допустимого множества X, чтобы на выходе из нее было достигнуто некое оптимальное значение у, численно равное наперед заданному и. Как найти это управляющее воздействие? Можно использовать метод простого перебора. Но при этом нет никакой гарантии, что решение будет найдено – простой перебор может привести к случайному нахождению этого решения, а может и не привести к этому. Поэтому надо использовать процедуры целенаправленного перебора. Но поскольку зависимость между входной и выходной переменными в явном виде неизвестна, далеко не каждая процедура целенаправленного перебора может использоваться для решения этой задачи. Поскольку чаще всего стоит задача скорейшего поиска оптимального управляющего воздействия на объект, например, для корректировки полета ракеты, то надежность алгоритма и скорость поиска этого наилучшего управленческого решения являются превалирующими.

Одним из лучших методов, приспособленных для решения такой задачи, является метод стохастической аппроксимации, суть которого впервые отразили в 1951 г. Г. Роббинс и С. Монро^[1]. Этот метод и стал формальным основанием для целого ряда задач адаптации в технической кибернетике. Области применения и разновидности решения различных задач технической кибернетики с помощью метода стохастической аппроксимации разнообразны. В отечественной науке наиболее полно методы решения таких задач адаптации и управления представлены в работах Я. З. Цыпкина^[2].

Суть метода стохастической аппроксимации заключается в следующем.

В допустимой области X выбираем произвольное значение xt, проводим эксперимент с данным значением входа в систему и наблюдаем на выходе некоторое значение у = f(xt). Таким образом, у исследователя есть первая пара взаимосвязи между входной переменной и выходной. Если бы объект был стационарен, можно было бы с помощью конечного множества наблюдений собрать достаточное множество пар значений хt и f{xt) такое, чтобы построить регрессионную зависимость между переменными. Тогда, зная коэффициенты регрессионной зависимости, можно легко решить поставленную задачу – найти такое значение входного управляющего воздействия х, при котором на выходе из объекта наблюдается заданное и. Но объект нестационарен, поэтому такой статистический подход не приведет к нужному результату. Кроме того, если система отклоняется от некоторой траектории развития, необходимо срочно откорректировать ее поведение для того, чтобы вернуть ее на прежний путь или близкий к нему. Поэтому собирать статистические данные и анализировать их на предмет выявления вида и степени взаимосвязи нет возможности.

В методе стохастической аппроксимации выделяют две разновидности:

• • процедура Роббинса – Монро;
• • процедура Кифера – Вольфовица (в приращениях)^[3].

Применительно к задачам адаптации прогнозных моделей используется процедура Роббинса – Монро, согласно которой для поиска оптимального управляющего значения х* выбираем убывающую с ростом п (числа испытаний) последовательность положительных чисел γ[п]. Необходимо за конечное число шагов испытаний определить такое значение х*, принадлежащее множеству X, чтобы

(11.1)

Для выбора значения х в следующем эксперименте используется рекуррентное соотношение Роббинса – Монро:

(11.2)

Разность в круглых скобках иногда называют "функцией невязки". Здесь положительное число γ[и] получило название "параметр демпфирования колебаний". Именно способ задания параметров демпфирования колебаний определяет характеристики алгоритма метода стохастической аппроксимации, в первую очередь – скорость его сходимости к оптимальному значению. Теоретическим исследованиям процессов адаптации на основе алгоритма Роббинса – Монро посвящено значительное число работ специалистов в области математики и технической кибернетики. Доказано^[4], что если

(11.3)

то х стремится к х*.

В зависимости от способа задания параметров демпфирования колебаний различают три различных алгоритма адаптации.

• 1. Алгоритм адаптации с постоянным шагом:
  • (11.4)

Например,

2. Алгоритм адаптации с переменным шагом, когда параметры демпфирования колебаний изменяются в зависимости от числа испытаний п:

(11.5)

Например,

3. Алгоритм адаптации с нелинейным шагом, когда параметры демпфирования колебаний определяются таким образом, чтобы в зависимости от конкретных величин у[п] и х[п] при данном испытании наискорейшим путем приблизиться к оптимуму (11.1):

(11.6)

Метод стохастической аппроксимации может быть отнесен к множеству рекуррентных численных методов, с помощью которых, как известно, решаются самые сложные математические задачи.

Первыми из множества возможных алгоритмов метода стохастической аппроксимации были использованы и исследованы на практике алгоритмы адаптации с переменным шагом. Здесь можно предложить самые различные способы задания параметра демпфирования колебаний, например, или и т.п.

В качестве преимущества такого подхода следует указать его простоту и формализм – параметр меняется только в зависимости от шага аппроксимации. Это же можно рассматривать и как недостаток алгоритма адаптации с переменным шагом – закон изменения параметра демпфирования колебаний влияет на скорость достижения оптимума, и в каждом случае методом перебора надо определять лучший из них.

Пример. Нам необходимо решить уравнение: х3 = 9. Для решения этой задачи воспользуемся итеративной процедурой метода стохастической аппроксимации.

Предположим, что в нашем распоряжении нет калькулятора или компьютера, а корень извлечь нужно. При этом нам не нужно знать абсолютно точное значение, можно найти корень и с некоторой небольшой ошибкой. Воспользуемся для этого алгоритмом метода стохастической аппроксимации.

Вначале задаем функцию невязки:

Будем считать, что нас устраивает такое значение корня, когда функция невязки по своему абсолютному значению не превышает η = 0,1. Выберем следующий способ задания параметра у:

Пусть на первом шаге исследователь задаст x[0] = 2. Тогда в соответствии с алгоритмом Роббинса – Монро следующее значение х[п] определится так:

Возводим x[1] = 2,5 в третью степень и вычисляем модуль невязки: |9 – 15,625| = 6,625. Она больше заданной η = 0,1, поэтому

продолжаем вычисления. Следующее значение входной переменной вновь вычислим, используя метод Роббинса – Монро:

Возводим в третью степень и вновь считаем невязку: . Она больше допустимой, поэтому вычисляем новое значение корня:

Возводим новое значение искомой переменной в третью степень и считаем невязку: . Она оказалась больше допустимой, поэтому вычисляем новое значение корня на четвертом и последующих шагах до тех пор, пока невязка не станет меньше допустимой величины:

(невязка );

(невязка );

(невязка );

(невязка: );

(невязка: );

(невязка: );

(невязка: что нас вполне устраивает).

Итак, окончательное решение поставленной задачи с наперед заданной точностью –

На графике рис. 11.2 показано, как менялись значения переменной х с каждым шагом аппроксимации.

Для справки: более точное значение этого корня равно 2,080084, т.е., используя метод стохастической аппроксимации, мы оценили его довольно близко к истинному. Если бы мы хотели получить более близкое к истинному значение решения, следовало бы взять меньшую величину невязки, например,

Рис. 11.2. Графическое изображение процесса поиска решения поставленной задачи

В том, что параметр демпфирования колебаний не зависит от величины невязки и определяется только шагом аппроксимации, видится недостаток алгоритма с переменным шагом – моделируемые процессы могут быть самыми различными по сложности, отличаясь друг от друга; первое приближение х[0] в одном случае может быть достаточно далеким от оптимума, а в другом – близким к нему. Алгоритм же этих особенностей не учитывает. Поэтому можно случайным образом или быстро найти искомое решение или так же случайно получить такой алгоритм, который затянет решение задачи на много итераций.

Чтобы избавиться от влияния такого случая, алгоритмы аппроксимации с нелинейным шагом являются более предпочтительными, поскольку их задают так, чтобы параметр демпфирования колебаний учитывал величину невязки и алгоритм "подтягивает" модель к реальным данным с той или иной степенью в зависимости от величины невязки. Такие алгоритмы имеют большую скорость сходимости, но в каждом конкретном случае исследователю приходится подбирать свой вид функции, которая описывает процесс изменения параметра демпфирования колебаний. Например, для параметрической идентификации линейных многофакторных систем в технической кибернетике используют алгоритм, при котором параметр демпфирования колебаний имеет вид , где k – число входных переменных объекта.

Алгоритмы адаптации с постоянным шагом не нашли широкого применения в задачах технической кибернетики, хотя известно, что скорость сходимости к оптимуму в этих случаях может быть наибольшей. Однако способ задания постоянного шага слабо формализуем – для каждого случая необходимо подбирать собственную постоянную величину демпфирования колебаний.

Успех применения адаптивного алгоритма идентификации моделей технической кибернетики с помощью методов Роббинса – Монро дал основания надеяться на успех его применения и в экономической практике. Огромным преимуществом здесь по сравнению с другими методами адаптации прогнозных моделей является отсутствие каких-либо априорных предположений о характере процесса. Есть просто некоторый явно заданный оптимум, которого необходимо достичь. Поэтому в конце XX в. многие специалисты в области экономико-математического моделирования пытались использовать этот метод применительно к задачам социально-экономического прогнозирования. Из множества этих попыток в прогнозировании экономики следует отметить работы E. М. Левицкого^[5], заложившего еще в 1970-е гг. основы адаптации эконометрических моделей методом стохастической аппроксимации для целей прогнозирования. Эти идеи в дальнейшем были развиты^[6], но сложности отечественной науки в 1990-е гг. привели к тому, что это направление исчезло как из научных монографий, так и из общедоступных учебников но прогнозированию.

Чтобы эффективно использовать алгоритм адаптации Роббинса – Монро в прогнозной практике, необходимо получить четкие ответы на следующие вопросы^[7]:

• 1. Что является целью адаптации?
• 2. Что является предметом адаптации?
• 3. Каковы ожидаемые результаты адаптации?

Дадим ответы на эти вопросы.

1. Что является целью адаптации? Поскольку социально-экономическая динамика многообразна, каждый ее тип описывается с помощью соответствующей модели. Модель должна меняться следом за объектом, который она описывает, адаптируясь к изменениям в тенденциях, если такие изменения наблюдаются, и оставаться неизменной, если изменений не происходит.

В конечном итоге под адаптацией понимается такое изменение эконометрической модели, при котором расчетное значение показателя наилучшим образом приближалось бы к некоторому оптимальному значению иt. С учетом того что адаптация эконометрических моделей – не самоцель, а попытка описать изменившееся качественное состояние системы в результате эволюционного развития, становится ясно, что это оптимальное значение иt представляет собой фактическое наблюдение, подверженное влиянию различных факторов – детерминированных, случайных и неизвестных. К этому фактическому значению и должна адаптировать модель свои расчетные значения.

Получается, что целью адаптации следует считать корректировку модели так, чтобы она лучше описывала последние наблюдения, чем все предыдущие.

2. Что является предметом адаптаций Адаптировать модель к текущим изменениям в тенденциях можно, либо меняя структуру модели, либо корректируя коэффициенты модели.

Чтобы поменять структуру модели, необходимо выявить, какие факторы перестали воздействовать на объект прогнозирования (их необходимо удалить из модели) и какие новые факторы, оказывающие влияние на прогнозируемый показатель, появились (их следует включить в модель). При современном состоянии науки эффективно решить эту задачу не получается. Единственный способ ее решения – использовать экспертные процедуры, но это вносит в саму процедуру большую долю субъективизма, и результаты прогноза оказываются неудовлетворительными.

Поэтому, оставляя неизменным вид и структуру модели, будем изменять ее коэффициенты, т.е. предметом адаптации выступят коэффициенты прогнозной модели. Их значения будут корректироваться в том случае, когда траектория развития прогнозируемого объекта начинает отклоняться от той, которую описывает модель.

• 3. Каковы ожидаемые результаты адаптации? Чтобы ответить на этот вопрос, необходимо вспомнить, что для эволюционных процессов его показатели yt формируются под воздействием составляющих, информация о которых может быть:
  • • детерминированной;
  • • случайной εt;
  • • неопределенной μt.

Процесс формирования итогового показателя с учетом введенных обозначений можно представить так:

(11.7)

Однако при построении модели выделить все три составляющие невозможно, поэтому реальный процесс приходится описывать с помощью двух слагаемых – собственно модели (регулярная составляющая) и некоторой ошибки аппроксимации, которая характеризует воздействие случайных процессов и неизвестных факторов и процессов:

(11.8)

Регулярная составляющая построена не только с учетом детерминированных факторов, но и с учетом факторов, неизвестных исследователю, которые мы ранее назвали "неопределенными". Поэтому даже после выявления степени и силы взаимодействия факторов при построении модели нет никаких гарантий того, что конкретные численные значения определенных коэффициентов модели отражают влияние только детерминированных факторов. Если модель хорошо описывает развитие системы в среднем, в той или иной степени отражая происходящие в действительности процессы, то в результате эволюционного изменения самой системы к последним наблюдениям модель начинает все хуже и хуже описывать реальные процессы. Для улучшения ее свойств и возникает необходимость адаптации эконометрической модели, ее приспособления к этим наметившимся изменениям в тенденциях динамики, суть и причина которых прогнозисту еще не ясна.

Точность описания фактических значений с помощью модели отражает ошибка аппроксимации ε(. Очевидно, нет никакой необходимости требовать сведения этой ошибки к нулю, наоборот, эта ошибка не должна превышать некоторого допустимого значения η. Причем этим допустимым значением может быть и среднее абсолютное отклонение, и CKO, и границы, определенные с помощью ί-статистики Стьюдента, и другие критерии, применяемые в зависимости от апостериорно выявленного характера исследуемого процесса. Таким образом, адаптацию эконометрической модели следует производить только в случае, когда абсолютное значение текущего отклонения расчетных значений от фактических превышает некоторое наперед заданное допустимое значение

(11.9)

В этом случае адаптация производится с целью изменения коэффициентов модели так, чтобы расчетные значения вновь удовлетворительно описывали реальный ряд значений, т.е. чтобы модель с адаптированными коэффициентами описывала последние наблюдения с ошибкой, по модулю меньшей наперед заданной ошибки.

Следовательно, ожидаемые результаты адаптации – корректировка коэффициентов модели таким образом, чтобы модель вновь описывала исходные значения в заданных границах, обусловленных действием случайных факторов.

Теперь становится понятным содержание процесса адаптации прогнозных моделей – с помощью алгоритма Роббинса – Монро коэффициенты эконометрических моделей должны приблизиться к некоторому оптимальному своему значению для новых изменившихся условий функционирования системы. Как определить это оптимальное значение коэффициентов, ведь они зависят и от вида модели, и от конкретных значений и факторов, и показателя?

Рассмотрим многофакторную эконометрическую модель вида

(11.10)

где – факторы, влияющие на уt; коэффициенты, оцененные с помощью МНК.

Критерий адаптации и сам алгоритм адаптации можно представить следующим образом. Выразим из (11.10) каждый коэффициент модели через значения и оставшиеся коэффициенты:

Если теперь для некоторого момента наблюдения t в полученное выражение (11.11) подставить вместо расчетного значения показателя его фактическое значение yt, то будет получен коэффициент ν отличный от расчетного , который, при подстановке его в модель позволяет модели в точности описывать фактическое наблюдение:

(11.12)

В общем случае значения полученных таким образом коэффициентов модели aj,t будут отличаться от рассчитанных ранее значений . Назовем для определенности полученные с помощью (11.12) коэффициенты фактическими.

Если вспомнить, что фактическое и расчетное значения отличаются друг от друга на ошибку аппроксимации, то, подставляя (11.8) в (11.12), увидим, что

т.е. отличие фактических коэффициентов от расчетных вызвано наличием ошибки аппроксимации. В случае, когда зависимость между факторами функциональная, ошибка аппроксимации равна нулю и коэффициенты (11.11) и (11.12) равны друг другу. Чем дальше зависимость между переменными отстоит от функциональной, тем больше ошибка аппроксимации, тем сильнее различие между расчетными и фактическими переменными.

Расчетные коэффициенты модели не меняют свои значения, поскольку они найдены для всего множества значений исходных переменных уt и хt, а фактические коэффициенты в общем случае меняются на каждом наблюдении t.

Если модель в последние моменты наблюдения начинает все хуже описывать реальный процесс за счет того, что прогнозируемый объект эволюционирует и меняет свою траекторию развития, фактические коэффициенты все более отдаляются от расчетных значений. Поэтому в случае, когда модель начинает плохо описывать реальный процесс, необходимо откорректировать коэффициенты модели так, чтобы их расчетные значения (11.11) приближались к фактическим (11.12). Поскольку в процессе адаптации расчетные значения коэффициентов меняют со временем свои значения, следует ввести в их обозначения индекс t. Мы будем их обозначать Ujj и называть адаптированными коэффициентами.

Адаптация модели в момент времени t осуществляется при выполнении условия (11.9) по следующей модификации формулы Роббинса – Монро^[8]:

(11.13)

здесь , где N – последний шаг адаптации коэффициента на предыдущем наблюдении.

Для адаптации прогнозных моделей можно использовать любой из алгоритмов (11.3) – (11.5). Проведенные исследования показали, что наилучшими в случае аддитивных моделей будут являться алгоритмы адаптации с постоянным шагом. Здесь можно предложить самые разные варианты вычисления величин параметров демпфирования колебаний, например 1/2 или 1/3 и т.п. На каждом наблюдении t с помощью такого постоянного параметра демпфирования колебаний за конечное число шагов можно будет приблизиться к допустимым границам. Однако для рассматриваемого случая адаптации эконометрических прогнозных моделей оказывается возможным не заниматься перебором разных значений параметра демпфирования колебаний, а находить такое его значение, при котором адаптация коэффициентов будет осуществляться за один шаг^[9]:

(11.14)

где весовой коэффициент vj характеризует степень адаптации и направление изменения данного коэффициента по сравнению с остальными коэффициентами, причем сумма этих весовых коэффициентов должна быть равна единице:

(11.15)

Ограничений на веса, кроме (11.15), не накладывается, так что в принципе у некоторых коэффициентов веса могут быть отрицательными, что будет приводить к адаптации в "противофазу".

В общем же случае нет оснований считать, что адаптация одних коэффициентов должна осуществляться в более значительной степени, чем других, поэтому можно принять указанный весовой коэффициент vj одинаковым для всех коэффициентов, и тогда параметр демпфирования колебаний для каждого из к коэффициентов рассчитывается достаточно просто:

Исследования показали, что рассчитываемое с помощью формулы (11.14) или (11.16) значение параметров демпфирования колебаний является оптимальным для инерционных процессов, так как адаптация при этом не имеет многоитеративного характера, а осуществляется за один шаг, поэтому при таком параметре демпфирования колебаний (11.13) можно записать так:

Данная модификация метода стохастической аппроксимации является вполне самостоятельной, нацелена на адаптацию прогнозных моделей и фактически имеет немного общего с исходным методом стохастической аппроксимации. К тому же предлагаемый механизм адаптации имеет особенность, к которой мы обратимся в следующем параграфе. Все это указывает на то, что предложенный метод нужно идентифицировать самостоятельно. Для такой идентификации назовем его "методом неравномерного сглаживания". О том, что за сглаживание происходит и почему оно неравномерное, мы поговорим в параграфе 11.2.

Покажем суть алгоритма на примере простой линейной однофакторной модели:

Пусть на имеющемся множестве значений переменных были оценены значения коэффициентов этой модели, напри

(11.16)

(11.17)

(11.18)

мер, с помощью МНК. Эти коэффициенты являются теми самыми значениями, которые при необходимости следует откорректировать с помощью метода неравномерного сглаживания. Адаптацию этих коэффициентов модели следует осуществить, если на некотором наблюдении t реальные значения, вычисленные по этим расчетным значениям коэффициентов и , выходят за допустимые границы:

, где. (11.19)

В этом случае расчетные коэффициенты и становятся теми начальными параметрами, которые подлежат адаптации, т.е.

и . (11.20)

В соответствии с (11.20) однофакторная регрессионная модель будет преобразована в модель

(11.21)

На основании вышеизложенного выразим каждый коэффициент линейной однофакторной модели через yt, xt и оставшийся коэффициент. Для фактического коэффициента а0 линейной однофакторной модели в момент времени t имеем

для коэффициента ал:

В этом случае, используя коэффициенты и как значения коэффициентов на начальном шаге адаптации, получим

; (11.22)

.(11.23)

С учетом того что выражения в скобках в правых частях равенств (11.22) и (11.23) есть не что иное, как текущая ошибка аппроксимации εt, и поскольку адаптация осуществляется за один шаг, получим простую запись для вычисления адаптированных коэффициентов:

(11.24)

(11.25)

Полученные адаптированные значения коэффициентов используются в дальнейших расчетах.

Итоговая модель парной регрессии в тех случаях, когда ошибка превышает заданную величину, имеет вид

(11.26)

Если теперь обратить внимание на суть формул (11.24) и (11.25) при параметре демпфирования колебаний (11.16), то становится ясен смысл алгоритма адаптации с помощью метода неравномерного сглаживания – с его помощью модель как бы "подтягивается" к фактическим значениям на расстояние, равное η (т.е. к ближайшей границе).

Чтобы понять суть алгоритма адаптации прогнозных моделей таким методом, на рис. 11.3 приведена схема алгоритма адаптации модели.

В начале тем или иным способом (например, с помощью МНК) оцениваются коэффициенты модели на всем имеющемся множестве наблюдений. Выбор модели определяется свойствами объекта прогнозирования и характером статистической взаимосвязи между прогнозируемым показателем и факторами. Модель в среднем должна хорошо описывать исходные данные, но если в тенденциях развития прогнозируемого процесса наблюдаются некоторые систематические отклонения, вызванные адаптацией объекта прогнозирования к неизвестным пока новым факторам и условиям, модель также должна адаптироваться к этим изменениям

Рис. 11.3. Алгоритмическая схема адаптации прогнозной модели

в тенденциях и повторять траекторию движения во времени прогнозируемого показателя.

Для этого прогнозист задает величину доверительной границы модели η, в рамках которой отклонения модели от фактических значений объясняются действием случайных величин, а выход за эти рамки служит основанием для адаптации.

Итак, в начале алгоритма задаются исходные условия – исходные значения оценок коэффициентов модели и допустимая величина отклонения модели от фактических наблюдений η. На первом же наблюдении t = 1 проверяется выполнение условия (11.9). Если условие не выполняется, т.е. модель хорошо описывает исходные данные, следует переходить к следующему наблюдению, не выполняя никаких действий.

Но если это условие выполняется, что означает выход модели за доверительные границы, необходимо адаптировать модель, корректируя ее коэффициенты указанным выше способом. Эти адаптированные коэффициенты подставляются в модель, и для следующего наблюдения t = t + 1 вновь проверяется выполнение условия (11.9). Этот процесс продолжается на всей базе данных до последнего наблюдения t = Т. Последние адаптированные коэффициенты модели и дают прогнозисту ту модель, которая адаптировалась к изменениям в тенденциях, если они были. Если же изменений в тенденциях не было, то коэффициенты модели не пересчитывались и модель не изменила своего вида.

Пример. По данным табл. 11.1 на первых 10 наблюдениях с помощью МНК была построена следующая модель: = 8,0269л) 10,4506, – где уt – электропотребление промышленностью, млрд кВт•ч; хt – численность занятых в промышленности (млн чел.).

Таблица 11.1

Исходные данные для адаптации прогнозной модели

Рассчитаем по этим данным среднюю абсолютную ошибку аппроксимации:

Она оказалась равной 0,2738. Эти исходные значения дают возможность провести адаптацию модели с помощью метода неравномерного сглаживания.

Процесс адаптации данной модели заключается в изменении коэффициентов модели в том случае, когда текущее отклонение модели от фактических данных будет превышать среднее абсолютное отклонение, равное η = 0,2738. Вопросу выбора величины η далее будет посвящен отдельный параграф. Здесь мы будем использовать среднюю абсолютную ошибку аппроксимации.

Последовательность изменений коэффициентов модели в процессе ее адаптации отражена в табл. 11.2. В том случае, когда ошибка аппроксимации не превышала указанный предел, параметры модели оставались неизменными.

Таблица 11.2

Адаптация линейной однофакторной модели во времени

Адаптация проводилась для первых 10 наблюдений. Теперь сравним прогнозные результаты исходной модели с оценками МНК и адаптированной модели. Модель с оценками МНК имеет вид

(11.27)

а адаптированная методом неравномерного сглаживания модель

(11.28)

Как видно, коэффициент пропорциональности увеличился так же, как увеличился и свободный член. Это свидетельствует о том, что адаптированная модель отразила тенденцию изменения пропорции между хt и уt.

Сравним точность условного прогноза каждой из моделей на краткий срок (до трех лет), средний срок (от четырех до семи лет) и долгий срок (от восьми до 13 лет). Для этого будем использовать те данные, которые не вошли в базу построения модели, т.е. с 11-го но 23-е наблюдение.

Результаты ретропрогноза на эти три периода по двум моделям приведены в табл. 11.3.

Таблица 11.3

Ошибки прогноза по моделям (11.27) и (11.28)

Из табл. 11.2 видно, что адаптированная модель дает более точный прогноз – средняя относительная ошибка аппроксимации для нее на всех периодах оказывается ниже, чем для модели, оцененной МНК.

Графически расчетные значения по модели и условный прогноз но ней представлены на рис. 11.4.

Рис. 11.4. Графическое представление аппроксимации ряда и прогноза моделью (11.28):

сплошная линия с точками – фактические значения; сплошная линия без точек – расчетные значения; пунктирные линии – границы фильтра; вертикальная линия отмечает момент, до которого велась адаптация

По графику видно, как модель адаптируется к новой информации. В тех случаях, когда значения лежат внутри границ фильтра, никаких изменений с моделью не происходит. Когда же значения оказываются вне границ, модель с запаздыванием на один шаг подтягивает свою ближайшую границу к уровню, на котором находилось предыдущее фактическое значение. В целом можно обратить внимание на то, что в долгосрочной перспективе модель (11.28) дает систематическую ошибку, однако на таких больших периодах прогнозирования это и неудивительно.

Разработанный алгоритм адаптации эконометрических моделей может быть использован не только для адаптации однофакторных моделей, но и для адаптации многофакторных моделей. Покажем, как это сделать на примере простой линейной многофакторной модели, коэффициенты которой найдены на некотором статистическом множестве:

(11.29)

Сначала необходимо вывести каждый из коэффициентов модели через исходные переменные и другие коэффициенты модели. Для свободного члена многофакторной модели имеем:

(11.30)

Подставляя вместо расчетного значения моделируемого показателя его фактическое значение, получим "фактическое" значение коэффициента, к которому следует адаптировать расчетное, если модель начинает плохо описывать реальные процессы и ее коэффициенты следует откорректировать:

(11.31)

Поскольку модель аддитивна и линейна, все остальные расчетные коэффициенты выводятся одинаковым образом. Для i-го коэффициента модели имеем

.(11.32)

Подставляя вместо расчетного значения моделируемого показателя его действительные значения, вычисляются "фактические" значения коэффициента, к которым в результате адаптации как бы "подтягиваются" расчетные значения:

.(11.33)

Адаптация модели (11.29) осуществляется в соответствии с тем же алгоритмом. Легко заметить, что вновь приходится сталкиваться с ошибкой аппроксимации εt. С учетом этого для адаптации свободного члена линейной многофакторной модели используется формула

(11.34)

Адаптация каждого последующего за свободным членом коэффициента также осуществляется по простой формуле

(11.35)

Здесь параметры демпфирования колебаний могут вычисляться по формуле (11.14), а если степень адаптации каждого из коэффициентов одинакова, то по формуле (11.16).

Итоговая модель множественной регрессии, адаптированная с помощью метода неравномерного сглаживания, может быть представлена в виде системы уравнений, которая визуально будет напоминать модель экспоненциального сглаживания в форме коррекции ошибок (см. параграф 7.4):

(11.36)

Если переписать первое уравнение системы (11.36) с использованием индекса на единицу выше (t + 1 вместо t), это соответствие становится еще более очевидным:

(11.37)

Так, в случае, если в модели не будет никаких факторов (т.е. yt будет описываться лишь средней величиной), система (11.37) примет вид модели Брауна в форме коррекции ошибок, в которой уровень ряда адаптируется к ошибкам модели:

Существенное отличие моделей, адаптированных методом неравномерного сглаживания, от моделей экспоненциального сглаживания заключается в использовании фильтра шумов, в результате чего адаптация происходит только в тех случаях, в которых это действительно необходимо.

Как видим, метод неравномерного сглаживания является более общим по сравнению с методом экспоненциального сглаживания и позволяет адаптировать не только модели тенденций, но и факторные зависимости.

Пример

По данным табл. 10.1 построим многофакторную модель объема продаж от ряда факторов. По этим данным в гл. 10 мы уже оценивали модель обычным МНК и методом z-множителей. Обычный МНК дал нам следующие оценки коэффициентов:

Эта модель описывает исходные значения объема произведенной продукции со средней абсолютной ошибкой аппроксимации, равной 35,4650. Проведем адаптацию модели с помощью метода неравномерного сглаживания (11.36). Процесс адаптации модели к текущим изменениям показан в табл. 11.4.

Таблица 11.4

Адаптация линейной многофакторной модели во времени

Видно, что модель адаптируется к ошибкам достаточно часто, тем не менее в некоторых частях ряда коэффициенты остаются на том же уровне из-за фильтрации ошибок. В результате адаптации многофакторная модель изменила свои коэффициенты и к последнему шагу адаптации имеет вид

Различия в коэффициентах, как можно заметить, несущественные. Вызвано это, судя по всему, тем, что в ряде данных за все время не происходило существенных изменений в связях между у и факторами, влияющими на него.

Графически исходный ряд данных и адаптирующаяся модель множественной регрессии представлены на рис. 11.5.

Рис. 11.5. Графическое представление аппроксимации ряда и прогноза методом стохастической аппроксимации:

сплошная линия с точками – фактические значения; сплошная линия без точек – расчетные значения; пунктирные линии – границы фильтра; вертикальная линия отмечает момент, до которого велась адаптация

По рисунку видно, как часто и в каких наблюдениях модель адаптировалась к новым фактическим значениям.

Обратим внимание на то, что адаптация многофакторных моделей, заложенная в методе стохастической аппроксимации в том виде, в котором она описана в данном параграфе, не учитывает реальное изменение в связях между результатом и факторами: в случае, если ошибка оказалась положительной, все коэффициенты будут увеличиваться. Если же ошибка отрицательна, то все коэффициенты будут уменьшаться. Таким образом, коэффициенты, рассчитанные методом стохастической аппроксимации, интерпретировать бессмысленно – это всего лишь один из вариантов описания сложного эволюционного процесса. Для того чтобы получить более соответствующие реальности коэффициенты, нужно менять механизм адаптации коэффициентов и задавать неравномерные веса в коэффициентах γj,t.

Данное замечание не относится к однофакторным моделям, в которых влияние фактора на результат рассматривается изолированно от остальных возможных факторов.

Авторы: Светуньков Иван, Светуньков Сергей

• [1] Robbins Н., Monro S. A stochastic approximation method //Annual mmanhematics statistics. 1951. V. 22. P. 400–407.
• [2] См., например: Цыпкин Я. З. Адаптация и обучение в автоматических системах. М.: Наука, 1968.
• [3] Хасьминский Р. З. Стохастическая аппроксимация // Математическая энциклопедия. М.: Советская энциклопедия, 1984. Т. 5. С. 235–236.
• [4] Вазан М. Стохастическая аппроксимация. Μ.: Наука, 1972.
• [5] Левицкий Е. М. Адаптация в моделировании экономических систем. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1977; Левицкий E. М. Адаптивные эконометрические модели. Новосибирск: Наука, 1981.
• [6] Светуньков С. Г. Эконометрические методы прогнозирования спроса (на примере промышленной энергетики). М.: Изд-во МГУ, 1993.
• [7] Багиев Г. Л., Светуньков С. Г. Моделирование электропотребления в промышленности // Промышленная энергетика. 1988. № 4.
• [8] Светуньков С. Г. Адаптивные методы в процессе оптимизации режимов электропотребления // Нормирование и учет в системе энергосбережения: межвузовский сборник. Ленинград: ЛИЭИ, 1985.
• [9] Светуньков С. Г. Параметры демпфирования колебаний при адаптивном подходе к задаче идентификации динамических систем // Моделирование и разработка технических средств для АСУ ТП. Ташкент: ТашПИ, 1987.