Система массового обслуживания с ограничениями на длину очереди
На рис. 3.6 представлена схема системы с ограничениями на длину очереди.
Рис. 3.6. СМО с ограничением на длину очереди:
а — входной поток (интенсивность Л); Ь — поток обслуженных заявок (интенсивность Ль); с — поток заявок, получивших отказ (интенсивность Лс)
Заявка, поступившая в систему (в накопитель) и заставшая хотя бы один канал свободным, немедленно поступает на обслуживание. Если она застанет все каналы занятыми, то она остается в накопителе (становится в очередь, максимальное число мест в очереди равно т). Если за время пребывания ее в очереди освободится хотя бы один канал, то заявка сразу поступает на обслуживание. Если заявка, поступившая в систему, застала в ней (п + т) заявок, то она получает отказ в обслуживании и уходит из системы необслуженной.
Размеченный граф состояний. Граф состояний изучаемой системы представлен на рис 3.7.
Рис. 3.7. Граф состояний СМО с ограничением на длину очереди
Номера состояний связывают с числом заявок, находящихся на обслуживании или в очереди. От графа предыдущей системы отказами (см. рис. 3.5) он отличается только в той части, где в системе присутствуют заявки в очереди. Когда в очереди находится хотя бы одна заявка, то в узле обслуживания находятся п заявок и любая из них с потоком пр может «уйти» из-под обслуживания в связи с его окончанием.
Уравнения Колмогорова. В системе существует стационарный режим. Первые п уравнений для финальных вероятностей совпадают с уравнениями Эрланга (см. формулу (3.7). К ним добавляется еще т +1 уравнений:
п+т
Условие нормировки У рк = 1.
к=0
Из первых п уравнений имеем
Разделив п-е уравнение на р и используя обозначение а = —, ц получим
аналогично из (п + 1)-го уравнения получим
и следовательно,
Тогда из условия нормировки определяется вероятность р0 и все другие вероятности рк, 1< к < п + т:
Показатели эффективности СМО с ограничениями на длину очереди приведены ниже в сводной табл. 3.1.
Система массового обслуживания с ограничением на время пребывания заявки в очереди
Рассматривается п-канальная СМО.
На входе — простейший поток заявок поток с параметрами Т, Т, X, величина интервалов между заявками, его математическое ожидание и интенсивность.
Поток обслуживания Тобс, ?обс, ц (время обслуживания заявки).
Поток ухода заявки из очереди Тож, Тож, V.
Имеемг=-; Со6с=—, Сож=—.
Л Ц V
Все входные заявки всегда сначала поступают на устройство, принадлежащее данной системе, называемое накопителем. Если вновь поступившая в накопитель заявка застанет хотя бы один канал свободным, она немедленно принимается на обслуживание. Если все каналы заняты, то эта заявка становится в очередь (оставаясь в накопителе). Время ожидания в накопителе ограничено величиной Тож. Если по истечении этого срока заявка не поступила на обслуживание, то она покидает систему (накопитель) необслуженной. Срок ожидания Тож — случайная величина с показательным законом распределения с параметром V — это интенсивность простейшего потока ухода заявок из накопителя (очереди), Гож = М[ТОЖ] = —. Если время пребывания заявки не превышает времени ожидания Тож, следовательно, заявка в накопителе находится в очереди и, как только освободится какой-либо канал, она поступает на обслуживание. Среднее время пребывания заявки в очереди — Точ.
п X „ V а
Вводятся параметры системы а - —, р = —, у = —.
|1 ц п
Математическое описание изучаемой системы несколько сложнее, чем у предыдущих систем, но проводится по той же схеме: формируется граф состояний, составляются уравнения Колмогорова, решение которых приводит к формулам для вычисления значений вероятностей состояний системы:
Возникает проблема, связанная с наличием бесконечной суммы при вычислении значения вероятности р0. На практике для работоспособных систем вероятности рп+5 с возрастанием индекса 5 должны становиться пренебрежимо малыми. Обычно задают точность, с которой ведутся вычисления. Например, пренебрегают всеми значениями вероятностей рп+з, меньшими 0,001, если расчеты ведутся с точностью до трех знаков после запятой.
Показатели эффективности СМО с ограничением на время пребывания заявки в очереди приведены ниже в сводной табл. 3.1.
