Математическая модель межотраслевого баланса («затраты — выпуск»)

Данные, содержащиеся в межотраслевом балансе, являются информационной базой математических моделей, характеризующих материальные и ценностные межотраслевые связи в экономике региона, государства. В общей таблице межотраслевого баланса валового продукта ортогонально совмещаются два специальных межотраслевых баланса: материальный (система показателей по горизонтали — первый-второй квадрант) и ценностный (показатели по вертикали — первый-третий квадрант).

Этим двум балансам соответствуют две математические модели:

  • 1) модель межотраслевых материальных связей, которая дополнена ограничениями по производственным ресурсам, взаимосвязями выпусков и конечным спросом, а также рассмотрены типовые задачи прогнозирования;
  • 2) модель межотраслевых зависимостей цен и добавленной стоимости.

Рассматривается, в соответствии с [78, 79], экономика региона, имеющая п отраслей. Каждая отрасль выпускает продукт, часть которого потребляется другими отраслями (промежуточный продукт) — представлена в первом квадранте, а вторая часть идет на потребление и накопление (конечный продукт) — во втором квадранте. Денежный доход от производства продукции представлен в третьем квадранте.

Обозначим:

  • X, — вектор-строка, определяющая валовой объем выпуска продукции 1-й (производящей) отрасли;
  • • — стоимость продукции, произведенной 1-й отраслью, идущей на производство продукции }-й отрасли, т. е. для }-й отрасли Ху — это затраты, которые она использует для изготовления своей продукции стоимостью Ху;
  • • Х; — вектор-столбец, определяющий валовой объем затрат для выпуска продукции ;-й (потребляющей) отрасли;
  • • у,- — конечный продукт 1-й отрасли;
  • • г,- — денежный доход от производства продукции уй отрасли, включающей в себя заработную плату, налоги, амортизацию, прибыль и др.

Валовой объем выпуска производящей отрасли равен сумме стоимостей продукции, произведенной этой отраслью и переданной (проданной) во все отрасли, и конечной продукции отрасли:

Уравнения (10.1) называются балансами «выпуска».

Валовой объем выпуска потребляющей отрасли равен сумме материальных затрат на производимую продукцию в других отраслях и денежного дохода от производства продукции:

Уравнения (10.2) называются балансами «затрат». А в совокупности уравнения (10.1), (10.2) называются моделью В. В. Леонтьева «затраты — выпуск» [76, 82].

Из анализа (10.1) вытекает, что промежуточное потребление (затраты) х^ зависит от объема производимой продукции Ху — чем больше выпуск отрасли Ху, тем больше затраты х,у.

В базовой модели межотраслевого баланса используется допущение о пропорциональной зависимости между затратами фй отрасли и объемом ее производства, т. е. вводятся линейные однородные функции производственных затратой отрасли:

где Х; — объем производства фй отрасли; — коэффициент пропорциональности — определяет прямые затраты.

Коэффициент прямых затрат:

показывает, какое количество продукции г-й отрасли необходимо для производства единицы продукции фй отрасли. Эти коэффициенты в совокупности образуют квадратную матрицу п-го порядка: А = {аф ц] = 1,п}.

Подставив значения а^ из выражения (10.3) в выражение (10.1), получим систему алгебраических уравнений с 2п переменными^ и_у. или

где — элемент единичной матрицы: = {1 при / = ф 0 при г }}.

В векторно-матричной форме имеем

где X = {X], I = 1,п} — вектор-столбец валовых выпусков; У =

I = 1,п} — вектор-столбец конечной продукции; I — единичная матрица.

Уравнения (10.6) представляют модель Леонтьева «затраты — выпуск», или уравнения межотраслевого баланса.

Система уравнений МОБ может иметь единственное решение, если из общего количества величин х,- и у( число неизвестных не превышает числа уравнений (необходимое, но не достаточное условие). Принятие одних величин за известные (экзогенные), а других — за неизвестные (эндогенные) определяется постановкой экономической задачи. Основное допущение состоит в том, что коэффициенты а(у принимаются неизменными в рамках изучаемого периода, т. е. если промежуточный продукт —АХ является верным для отчетного периода е Т, то он будет верным и для будущего периода 1° + Дг е Т с X + XX. Отсюда главное достоинство модели — возможность проведения многовариантных аналитических и прогнозных расчетов с меняющимися значениями х( и у(

Свойства решений системы уравнений МОБ определяются свойствами матрицы А.

Матрица коэффициентов прямых материальных затрат А относится к классу неотрицательных матриц а^ > О, VI, ] е п. Но коэффициенты матрицы А не могут принимать произвольные положительные значения. Например, все диагональные элементы должны быть меньше единицы, также меньше единицы должны быть произведения коэффициентов, симметричных относительно главной диагонали (ааы < 1).

Главным обобщающим свойством матрицы А является продуктивность.

Матрица А называется продуктивной, если существует неотрицательный вектор X > 0, позволяющий получить положительный вектор конечного спроса: (I - А)Х = У > 0. Достаточным условием п продуктивности является выполнение соотношений < 1 для — >1

всех) = 1,п.

Основная теорема. Для модели межотраслевых материальных связей если матрица А продуктивна, то для любого полуположитель-ного вектора У > 0 (т. е. имеющего хотя бы одну положительную компоненту) система (I - А)Х = У имеет единственное полуположи-тельное решение X > 0.

Из модели Леонтьева «затраты — выпуск» вытекает два тождества:

• первое следует из системы уравнений (10.1), (10.2):

эти уравнения означают, что производственные (материальные) затраты ьй отрасли, увеличенные на добавленную стоимость выпускаемой ею продукции, равны стоимости выпуска этой отрасли;

• второе: сумма конечных спросов равна общей сумме добавленных стоимостей, для доказательства просуммируем уравнения (10.7) по I = 1,п отраслям

п п п п

Первые слагаемые этих уравнений равны ? ^Ху - отсюда п п 1=1 >1 7=11=1

Еу- = Е2?

/=1 ;=1

Равенство означает, что общая сумма конечного использования (спроса) равна общей сумме добавленных стоимостей.

Матрицу полных материальных затрат В получаем из системы матричных уравнений (1- А)Х = У в (10.6), для этого определим

Эту систему матричных уравнений представим в виде

где (/-А)-1 — квадратная матрица п-го порядка, обратная (/-А). Обозначим В = (/-А)-1.

В = {Ьд, 1,] = 1,п}, где — коэффициенты пропорциональности, определяющие полные затраты.

Коэффициенты полных затрат — Ь^, образующие матрицу В, показывают, какое количество продукции 1-й отрасли необходимо произвести, чтобы с учетом прямых и косвенных затрат этой продукции получить единицу конечной продукции ;-й отрасли.

Доказывается, что > а,-,, а диагональные элементы > 1 + а^. В целом В = (I - А)-1 — это матричный мультипликатор совокупного регионального продукта по отношению к конечному продукту региона.

Учет производственных ресурсов и мощностей в модели межотраслевого баланса

Возможности увеличения производства каждой отрасли ограничены имеющимися ресурсами, не восполняемыми в каждом выбранном промежутке времени. Если рассматривать годовой цикл, то невосполняемыми (ограниченными) следует считать природные и трудовые ресурсы. Ограниченными будут также ресурсы основного производственного капитала (производственные мощности) [82]. Распространив предположение о пропорциональности затрат и объемов производства на множество ограниченных ресурсов, получим дополнительную систему линейных неравенств

где Гу — прямые затраты 1-го ресурса, идущего на производство единицы продукции отрасли;, N — множество видов деятельности на уровне разделов и подразделов, в соответствии с ОКВЭД; Ь( — имеющейся объем 1-го ресурса на исследуемый период планирования.

В векторно-матричной форме условия (10.9) примут вид

где К — матрица ресурсных коэффициентов; В — вектор имеющихся ресурсов.

По этой формуле исчисляются полные затраты труда, основного капитала и других производственных ресурсов.

Особым видом ресурсов являются наличные производственные мощности по видам продукции (Мр, характеризующие максимально возможные выпуски продукции за год. Ограничения на имеющиеся мощности учитываются в модели МОБ следующим образом:

где М = {Мр ] = 1,п} — вектор-столбец производственных мощностей. Соответственно,

Подключим ограничения по производственным ресурсам и мощностям к системе уравнений материального МОБ, получим типовые задачи прогнозирования [80]. Например, совокупная максимизация прибыли: ; = 1,п по всем отраслям с учетом ресурсных ограничений (10.10) и ограничений по мощностям (10.11).

Определить

при ограничениях

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >