Примеры моделей социальных процессов

Модель гонки вооружений Ричардсона

Рассмотрим ситуацию, в которой могут оказаться две враждующие страны. Страна 1 вооружается, опасаясь войны со страной 2. В свою очередь страна 2, видя рост затрат на вооружение у потенциального противника, также ускоряет свое вооружение. Пусть скорость роста затрат на вооружение каждой из стран пропорциональна уровню затрат противника – чем больше противник тратит на вооружение, тем быстрее страна сама пытается вооружиться. Пусть x(t) расходы на вооружение страны 1 к моменту времени t, y(t) то же для страны 2. Тогда простейшая математическая модель имеет вид

где а > 0, b > 0 – константы. Рост затрат на вооружение ничем не ограничен, поэтому модель нужно улучшить с учетом естественного предположения: чем больше уровень затрат на вооружения, тем меньше скорость его роста. Кроме того, полезно учесть, что государство может наращивать вооружение исходя из державных амбиций, даже без угрозы нападения со стороны других стран. Пусть для стран 1 и 2 коэффициенты претензии равны соответственно пн (при отрицательных значениях они приобретут "миротворческий" смысл). Получим следующую систему уравнений:

где а > 0, b > 0, т > 0, п > 0, r, s – константы.

Поведение модели Ричардсона зависит от приведенных шести констант. Различаются четыре случая.

  • 1. тпab > 0, r > 0, s > 0 – существует точка равновесия.
  • 2. тпab < 0, r > 0, s > 0 – эскалация гонки вооружений носит неограниченный характер.
  • 3. тпаb > 0, r < 0, s < 0 – произойдет взаимное разоружение.
  • 4. тп – ab < 0, r < 0, s < 0 – прогноз сильно зависит от начального состояния системы, в частности, уровней расходов на вооружение.

Как установлено политологами, модель Ричардсона вполне применима для анализа большинства серьезных международных конфликтов XIX– XX вв. Сам Ричардсон для проверки своей модели использовал сведения о расходах па вооружение России, Франции, Германии и Австро-Венгрии в 1909–1913 гг. – перед Первой мировой войной[1].

Будем понимать под политической мобилизацией вовлечение людей в партию, движение или в ряды сторонников. Пусть Мп – доля мобилизованного населения в момент времени tn = п, определяемая как отношение численности мобилизованного населения к численности населения, для которого мобилизация может иметь смысл. Соответственно 0 ≤ Мп 1, а доля немобилизованного населения составляет 1 – Мп. Уровень мобилизации за единицу времени может измениться по следующим причинам.

1. Часть населения удалось привлечь дополнительно. Чем больше доля еще несагитированного населения на момент tn, тем больше эта часть населения, ее можно считать равной

где а > 0 – коэффициент агитируемости. Чем невосприимчивее население к агитации, тем ближе а к нулю.

2. Часть населения убыла. Чем выше была доля сагитированного населения, тем больше потери сторонников, связанные с выбытием. Эти потери принимаем равными

где b > 0 – коэффициент выбытия. При значениях b, близких к нулю, убыль населения очень низка.

Получаем, что изменение уровня мобилизации за единицу времени равно разности между долей дополнительно привлеченного населения и долей выбывшего сагитированного населения:

Данное уравнение является уравнением процесса мобилизации[2]. Решая это уравнение, получаем, что

где М0 – начальный уровень мобилизации. В зависимости от значения γ получаем несколько вариантов динамики уровня мобилизации. Они приведены на рис. 10.6. Здесь ситуация I – для 0 < γ < 1, II – для -1 < γ < 0, III – для γ < -1. Вспомогательный параметр М* вычисляется как

Построенная модель показала высокую степень соответствия реальному процессу. Так, она использовалась для изучения динамики числа сторонников демократической партии в Лейк Кантри (США) в 1920–1968 гг. и оказалось, что она довольно хорошо описывает качественные тенденции процесса мобилизации, т.е. тип графика процесса.

Данный пример математического моделирования наглядно показывает четыре важных положения математического моделирования:

  • 1) учет любого дополнительного фактора может кардинально изменить математическую модель описываемого социального процесса;
  • 2) процесс построения реалистичных математических моделей часто является многошаговым – сначала строится простейшая модель процесса, далее ищутся ее недостатки и выполняется уточнение либо отбрасывание элементов, слишком усложняющих модель, далее модифицируется новая версия модели и т.д.;
  • 3) необходимо четко представлять границы применимости модели – например, при моделировании динамических систем предлагаемая модель может быть пригодна на некотором промежутке времени, но совершенно бесполезна при выходе за его пределы;
  • 4) кардинальное различие полученных моделей не означает, что какая-то из них неточна, – возможны ситуации, когда две совершенно разные математические модели довольно точно описывают один и тот же процесс.

Модель мобилизации: варианты динамики уровня мобилизации

Рис. 10.6. Модель мобилизации: варианты динамики уровня мобилизации

Рассмотрим несколько математических моделей, описывающих процесс роста численности любого живого вида или популяции и допускающих применение к росту численности населения в силу использования универсальных допущений.

Простейшая модель предполагает неограниченность ресурсов и может быть использована, когда ресурсов достаточно для всех. Пусть х – численность населения, меняющаяся в момент времени t. Будем считать, что прирост численности пропорционален самой численности. Поскольку пророст в малый промежуток времени – производная численности, то x(t) = kx, где k – некоторый коэффициент пропорциональности, называемый удельной скоростью роста. Решением уравнения будет х0еk1, где х0 – численность населения в начальный момент времени (t = 0).

Экспоненциальный закон будет выполняться лишь в небольшой промежуток времени. Неограниченно долго выполняться он не может, поскольку ресурсы ограничены. Нужно улучшить модель, чтобы учесть это.

В условиях ограниченных ресурсов удельная скорость роста будет убывать с численностью населения. Допустим, она убывает по линейному закону:

Число b характеризует ресурсный предел: при х=b больше нет ресурсов для обеспечения дальнейшего прироста населения, скорость роста численности населения становится равной нулю. В результате приходим к следующему уравнению[3]:

Это уже известное нам уравнение логистического роста. Решением этого уравнения является логистическая кривая, вид которой примерно такой как у приведенной на рис. 10.3. (О ней уже говорилось в параграфе 10.4.) В данном случае уравнение кривой следующее:

Если необходимо оценить численность населения отдельного региона, а не всей планеты, то можно дополнить модель учетом миграционных процессов. Пусть т – скорость миграции. Знак выберем так, что при т < 0 получим приток извне, при т > 0 – отток. При учете миграции, но без учета ресурсных ограничений получим уравнение[4]:

Решение этого уравнения следующее:

Динамика численности населения оказывается существенно зависящей от двух факторов:

  • 1) куда направлена "суммарная" миграция – из региона или в регион;
  • 2) какая из скоростей больше – удельная скорость роста населения или же скорость миграции.

Даже небольшие показатели миграции населения могут в долгосрочной перспективе сильно сказаться на численности населения. Так, на рис. 10.7 приведен пример при х0 = 10, k = 1. Легко заметить, что при t = 8 численность населения при т = 0 почти вдвое превысит численность населения при т = 4.

Разумеется, можно попытаться еще больше усовершенствовать модель, учитывая, что темпы миграции могут меняться со временем. Часто миграция обусловлена экономическими причинами (это хорошо видно на примере миграции в Россию выходцев из постсоветских стран). Если мы будем учитывать экономические циклы, то, вероятно, получим тригонометрические функции – функции вида:

или какие-то комбинации сумм синусов и косинусов.

Возможно объединить модели, учитывающие ограниченность ресурсов и миграцию, в одну модель и получить уравнение вида

где k "отвечает" за скорость роста населения, b – за ресурсные ограничения, т – за темпы миграции.

Примеры факторов, влияющих на коэффициенты: k – демографическая политика, отношение населения к ценностям семьи и половой жизни, h – объемы экономики, площадь территории, т – экономическая привлекательность региона, миграционная политика властей.

Модель численности населения с учетом миграции

Рис. 10.7. Модель численности населения с учетом миграции:

x0 = 10; k = 1; т = 0; x0 = 10; k = 1; т = 4

Рассмотренные модели численности населения основаны на дифференциальных уравнениях, выведенных из связи численности населения и скорости его роста. Как обратил внимание С. П. Капица, модели численности роста можно искать в виде степенных функций:

где а и С – константы, N – численность населения, Т – время, Т1 – некоторый фиксированный момент времени.

Такого рода модели могут давать довольно точные результаты, но лишь на ограниченном промежутке времени. При приближении к T1, численность населения устремляется в бесконечность, а при возникновении Вселенной согласно формулам должны были присутствовать несколько человек[5]. Тем не менее такие модели могут быть точны на протяжении довольно длительного периода, как отчасти это показано в параграфе 10.4 для первой формулы.

  • [1] Плотинский Ю. М. Цит. соч. С. 242–244.
  • [2] Шикин Е. В., Чхартишвили А. Г. Математические методы и модели в управлении: учеб. пособие. М.: Дело, 2002. С. 425.
  • [3] Абзалилов Д. Ф. Математическое моделирование в социологии: учебно-метод. пособие для социологов. Казань: КФУ, 2012. С. 36.
  • [4] Там же. С. 37.
  • [5] Капица С. П. Феноменологическая теория роста населения Земли // Успехи физических наук. 1996. Т. 166. № 1. С. 66–67.
 
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ     След >