Ламинарное течение вязкой жидкости

Условия ламинарного течения жидкости в трубах

В движущейся жидкости постоянно возникают случайные малые возмущения — колебания давления или скорости отдельных ее частиц. При этом вследствие неразрывности потока любое случайное перемещение жидкой частицы вызывает кратковременное изменение (пульсацию) скорости окружающих ее элементов жидкой среды. В зависимости от соотношения сил инерции и вязкости случайные возмущения в жидкости либо затухают, либо вызывают появление новых пульсаций скорости.

При течении жидкости по трубопроводу соотношение сил инерции и вязкости характеризуется числом Рейнольдса:

где р, ц — плотность и динамический коэффициент вязкости жидкости; v — средняя скорость (в поперечном сечении трубы); d — внутренний диаметр трубы.

Установлено экспериментально, что, если Re < 2300, то в трубе наблюдается ламинарное (т. е. слоистое) течение, при котором слои жидкости скользят относительно друг друга, не разрываясь, а случайные пульсации скорости и давления подавляются силами внутреннего трения и не влияют на движение жидкости. Если же Re > 10 000, то в трубе наблюдается турбулентное движение жидкости, при котором происходит интенсивное возникновение и хаотическое перемещение вихрей, сопровождающееся беспорядочными пульсациями скорости в каждой точке потока.

В интервале значений числа Рейнольдса от 2300 до 10 000 реализуется переходный режим течения в трубах, при котором ламинарные и турбулентные движения в разных частях потока перемежаются, чередуясь друг с другом во времени. При увеличении числа Рейнольдса характеристики турбулентного движения несколько изменяются. Они стабилизируются при развитой турбулентности (ориентировочно при Re > 100 000).

Хотя ламинарное течение в технических устройствах встречается значительно реже, чем турбулентное, его наиболее простые фундаментальные закономерности нуждаются в специальном рассмотрении.

Приближение пограничного слоя

Тот факт, что такие маловязкие жидкости, как вода или воздух, могут создавать значительное сопротивление движущимся в них телам, получил объяснение после того, как Прандтль ввел понятие пограничного слоя.

На поверхности твердого тела обычно наблюдается эффект «прилипания» жидкости, так что на неподвижной поверхности, обтекаемой жидкостью, скорость равна нулю. По мере удаления от твердой поверхности продольная скорость жидкости и, направленная по оси х, быстро приближается к ее значению в невозмущенном ядре потока. Таким образом, рядом с обтекаемой поверхностью образуется относительно тонкий динамический пограничный слой, в котором продольная скорость и заметно изменяется по нормали у к поверхности, а поперечная скорость v мала (рис. 4.1). Именно большие «градиенты» продольной скорости, образующиеся в пограничном слое, и приводят к появлению значительной силы внутреннего трения на поверхности твердого тела, обтекаемого маловязкой жидкостью.

Рис. 4.1. Образование пограничного слоя на плоской пластине:

и — скорость вблизи пластины; — скорость вдали от пластины;

8 — толщина пограничного слоя (изображение непропорционально увеличено по оси у)

В пограничном слое реализуются следующие неравенства, позволяющие упростить для этой области уравнения Навье — Стокса (знак » означает «много больше»):

Применяя эти неравенства к первому уравнению Навье — Стокса (3.7), определяющему компоненту скорости по оси х, и полагая, что в сумме однотипных величин пренебрежимо малые слагаемые можно отбросить, получают дифференциальное уравнение движения вязкой жидкости в приближении двумерного пограничного слоя:

Целесообразно несколько изменить вид конвективных членов этого уравнения, добавив к ним левую часть дифференциального уравнения неразрывности потока (1.15), равную нулю, умножив ее при этом на и:

Теперь первые две группы слагаемых, взятых в скобки, можно объединить, пользуясь математическим правилом дифференцирования произведения двух функций:

Второе дифференциальное уравнение Навье — Стокса (3.7), определяющее компоненту скорости по оси у, в приближении пограничного слоя сводится к простому равенству:

на основании которого можно полагать, что давление остается практически постоянным по толщине пограничного слоя.

Если жидкость течет по трубе, то дифференциальное уравнение пограничного слоя должно быть записано с учетом выражения для дивергенции тензора напряжений в цилиндрических координатах:

Главное отличие записи дифференциального уравнения (4.4) в цилиндрических координатах от уравнения (4.1) состоит в том, координата г по радиусу трубы находится в нем под знаком производной. В соответствии с правилом дифференцирования произведения функций это приводит к появлению в уравнении дополнительного слагаемого, учитывающего криволинейность цилиндрической системы координат.