Геометрическое распределение
В предыдущих параграфах по умолчанию предполагалось, что результаты контроля каждой единицы продукции в выборке абсолютно достоверны. Однако на практике это далеко не всегда так. Контроль
1 Большее Л. Н., Смирнов Н. В. Таблицы математической статистики. 3-є изд. М. : Наука, 1983.
качества может состоять, например, в измерении того или иного показателя. Это, как известно, сопряжено с погрешностью, которая может повлиять на принимаемое решение, когда значение данного показателя должно удовлетворять заданным в нормативных документах ограничениям. В других случаях качество изделия может оцениваться экспертным путем, визуально, органолептическими методами и т.п. Во всех этих ситуациях также возможны ошибочные решения, когда несоответствующая по своему качеству единица продукции пройдет контроль и будет признана кондиционной, или наоборот: кондиционное изделие будет принято за бракованное.
Пусть р — вероятность обнаружения имеющегося несоответствия. Тогда с вероятностью 1 - р некондиционное изделие пройдет контроль и будет признано годным. Чтобы уменьшить вероятность этого нежелательного события, можно последовательно использовать не одно, а несколько однотипных, независимо работающих контролирующих устройств (датчиков, контролеров и т.п.). Тогда вероятность рк обнаружения дефекта к-м по счету датчиком будет равна произведению вероятности того, что первые (к - 1) датчиков не обнаружат имеющийся дефект на вероятность его обнаружения k-м датчиком:
Это соотношение задает на множестве натуральных чисел распределение вероятностей, которое называют геометрическим, поскольку значения рк, как легко заметить, образуют геометрическую прогрессию.
В качестве случайной величины здесь выступает номер К датчика, который первым среагирует на имеющееся отклонение от нормы и тем самым обнаружит брак: рк - Р(К - к).
Можно показать, что математическое ожидание и дисперсия случайной величины, подчиняющейся геометрическому распределению, имеют следующий вид:
Например, если вероятность обнаружения дефекта одним датчиком равна 0,2, то в среднем для выявления дефекта потребуется (0,2)-! = 5 датчиков такого типа.
Легко подсчитать, что при наличии ш датчиков вероятность не обнаружить дефект будет равна (1 - р)т . Если требуется, чтобы каждый дефект был обнаружен с вероятностью, которая не ниже, чем заданное число у, то необходимое для этого число датчиков m можно найти из условия
Рассмотрим следующий пример, в котором используем свойства как геометрического, так и биномиального законов распределения. Пусть имеется выборка объема п единиц продукции, каждая из которых может оказаться некондиционной с вероятностью q. Контроль качества осуществляется с помощью т датчиков. Датчики работают независимо друг от друга, и каждый из них способен выявить имеющееся несоответствие с вероятностью/. Браковка единицы продукции производится, если сработал хотя бы один из датчиков. Какова вероятность того, что из всех имеющихся в выборке бракованных единиц кг будет выявлено, а к2 Других — не выявлено (пропущенный брак) ?
Из условия следует, что в выборке имеется d(n) = к1 + к2 несоответствий. Это событие согласно (1.9) имеет вероятность
Каждая из кг + к2 некондиционных единиц продукции имеет шанс успешно пройти контроль качества на всех датчиках. Вероятность этого события будет равнаД = (1 -f)m. Тогда вероятность того, что таких случаев будет ровно к2 , можно найти как
Перемножив вероятности (1.36) и (1.37), получаем в итоге ответ на вопрос данного примера:
