Решение задачи о продольном обтекании пластины

А. Продольное обтекание пластины — гидродинамическая задача.

Рассчитать: поле скоростей, 8_Г, коэффициент трения су.

Известны: длина исследования — L, q_CT = 0.

Пластина «тонкая», то есть не учитываем оттесняющего влияния пластины в потоке (включая размер погранслоя), тогда нет ускоре-АР „

ния потока, — - 0.

дх

^СТ Асо*

Учитывая, что по определению c_f =——, где о_ст = vp—— ,

рсо² / 2 Ay _y=Q

запишем математическую формулировку (постановку) задачи (математическую модель):

Условия однозначности:

х = 0: со* = со_м, co_v = 0: у —> (х > 0): со* со •

у = 0 (х > 0): со* = со_у = 0 (условие прилипания и непроницаемости).

Из (4.1):

у

где |/ = j co*dy = |t(x,y) — функция тока.

° А А

Очевидно: dy = — dx +—dy. dx Ay

На непроницаемой стенке (у = 0): dy_CT = 0 (так как со* = со_у = 0) и |/_ст = const = 0.

V У /хсОео У ~ ?0)_XJ

Введем переменные: у = ——, Г| =—.---— v = —

Vo ^х N v 8_Г J со^

Vo — некий выбранный масштаб и т| — поперечная координата.

Перепишем (4.1)—(4.3) в новых переменных:

Причем:

Это нелинейная краевая задача. Решается численно после преобразований в задачу Коши.

Решение: для толщины пограничного слоя 8_Г (с отличием со_х и о)_ю в ~1 %):

Для локального коэффициент трения, с учетом v^,,(0) = 0,332 (численное решение)

Сравним полученные решения (кривые 1 на рис. 4.8) с точным (численным) решением уравнений Навье-Стокса (кривые 2 на рис. 4.8).

Анализ решения позволяет сделать следующие выводы.

Недостаток теории погранслоя: о/, вне пограничного слоя стремится к const 0.

Принимают нижнюю границу применимости уравнений погранслоя Re_x - 10³.

Вспомним, что Re_Kpl = 10⁵!

Б. Продольное обтекание — теплообмен на пластине, q_CT 0.

Условия:

• — ламинарный погранслой;
• — жидкость несжимаемая;
• — постоянные теплофизические свойства жидкости, Рг = const.

Задано: L, t_CT;со^, — набегающего потока.

Запишем математическую постановку задачи:

Рис. 4.8. Сравнение расчета с точным решением

Рис. 4.9. Теплообмен при продольном обтекании пластины

Условия однозначности:

Перейдем к переменным у и 0:

Учтем:

Получим

С учетом уравнения (*) гидродинамической задачи и уравнения (4.6) или

Интегрируем:

Причем G {Pr} = [jjr"(O)]^Pr / J (ф^,,)^Рг4р-

о

„ ~ Ж/п) ~,_z a t-ter

Для Pr = 1: 0 = -^ту²- = Ж Ol), поскольку жХ = 1, или----— = ——.

Ж оо ^оо С'Т ⁰⁰

Учитывая, что G{Pr = 1} = 0,332 (численный расчет), получаем NuJ_d =0,332Rey².

Таким образом, в ламинарном пограничном слое на пластине профили безразмерной температуры и безразмерной скорости при Pr - 1 совпадают.

Рис. 4.10. Влияние числа Рг на б_г и б_г:

1 — Pr = 1; для Рг Ф 1:2 — Pr > 1, 3 — Pr < 1

Следовательно, если Pr > 1 —> 8_Т < 5_Г, если Pr < 1 5_Г > 5_Г.

Связь толщин погранслоев:

обычно принимают для (4.8) 0,5 < Pr < 10³.

Если взять аппроксимацию (4.8), то и

Теплообмен при продольном обтекании пластины и турбулентном пограничном слое

Турбулентный погранслой (Rex >3,3 105).

Аналогия Рейнольдса.

Рис. 4.11. Турбулентный пограничный слой

Молекулярный механизм обмена

Касательные напряжения:

Тепловой поток:

Откуда получаем связь касательных напряжений и плотности теплового потока:

Молярный механизм обмена:

— турбулентный поток:

где g_T — плотность потока массы через контрольную поверхность cJC-t)

А-А, [кг/с-м²]; <з_т — турбулентные напряжения, q_T = -а_т-^----,

со_х — 0)_х л dt _ „

сравнить с q = -о---это и есть аналогия Рейнольдса (1874):

ц dco_x

«Турбулентный перенос тепла пропорционален турбулентному напряжению».

Описание процесса теплообмена

В турбулентном пограничном слое

Примем линейное приближение для у<8_вп: (вязкий подслой, молекулярный механизм переноса субстации). Тогда справедливо

В пределах 8_{В п} q_T = 0.

Тогда

Для 8_{В п} < у < 8_Г: турбулентное ядро:

тогда на границе (у = 8_{В п}) q_CT = q_r(8_B,_n ).

Если ц = const, то су = су_ст = idem в пределах 0 < у < 8_{В п}, то есть су_ст — СУ_Г(8_{В п} ).

Из аналогии Рейнольдса

Из уравнения (4.10) получаем:

а из (4.11):

Просуммировав два последних соотношения, получаем

где

Или, учитывая, что

получаем связь интенсивности теплообмена на стенке и касательных напряжений на стенке (поверхности):

Г “I^-1

где Е = 1 + -^(Рг-1)

СОоо

В записи через коэффициент трения

и критерий Стантона

имеем

Для Pr = 1:

Используя теорему Бэкингема, мы ранее для ламинарного погра-

5_Г /Б—

ничного слоя получили соотношение — JRe_x = const.

X

Это соотношение «работает» до Re_x =3,3-10⁵ (эксперименты).

Если Re_x >3,3-10⁵, то согласно опытным данным:

Отсюда легко получить соотношение Прандтля:

^cf

Подставим Cf в формулу St = -^-Е, получим

Эксперименты:

Авторы: Кузеванов Вячеслав, Закожурникова Галина, Закожурников Сергей