Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Инвестирование arrow Инвестиции

Определение параметров αi и βi регрессионной модели

Для нахождения параметров и по результатам наблюдений используется метод наименьших квадратов (МНК). По этому методу в качестве параметровиберутся такие значения, которые минимизируют сумму квадратов ошибок . Следовательно, если мы рассматриваем регрессионную модель, описывающую зависимость доходности какой-то ценной бумагии рыночного портфеля за N наблюдаемых в прошлом шагов расчета, то в качестве параметров и надо взять такие значения, при которых величина

(3.14)

достигает минимума. Если провести необходимые вычисления (здесь они не приводятся), то окажется, что выражение (3.14) имеет минимум, когда параметры и принимают следующие значения:

(3.15)

или . (3.16)

Итак, свободный членв регрессионной модели (3.13) вычисляют как разность между ожидаемым значением Ε(ri) наблюдавшихся в течение N шагов величин и взвешенным ожидаемым значениемнаблюдавшихся в течение этих же шагов расчета величин , где весом служит параметр . Одновременно параметр вычисляется как частное от деления величины ковариациидоходности и на величину дисперсии рыночной доходности. Если нам будут известны наблюдаемые в течение N лет величины и , то, пользуясь известными формулами для вычисления ожидаемых доходностей, ковариаций и дисперсий, можно найти , , и , подставить их в формулы (3.15), (3.16) и вычислить параметры регрессии и .

Рассмотрим конкретный пример вычисления параметров регрессии. Возьмем исследованную ранее выборку результатов наблюдений за 10 шагов расчета доходности акций компаний А, В и С. Одновременно предположим, что изменения доходности рыночного портфеля соответствуют данным, приведенным в табл. 3.5.

Сначала вычислим ожидаемую (среднюю арифметическую) величину для рыночного портфеля

и дисперсию

Следовательно, стандартное отклонение

Воспользуемся данными ожидаемой доходности Е(rC) = = 0,194 фирмы С и значениями доходности этой фирмы за 10 шагов расчета (см. табл. 3.1) для определения величины ковариации значений рыночной доходности и доходности :

Используя эти величины, можно найти параметры и регрессии для доходностей и :

Проведя необходимые вычисления, найдем значения параметров регрессии (коэффициентов а и β) для акций компаний А и В:

Вычисление дисперсии случайной ошибки

Поскольку для определения оптимального портфеля с использованием модели Шарпа понадобятся значения дисперсий случайных ошибок, то проведем необходимые вычисления. Общая формула для вычисления дисперсии случайной ошибки имеет вид

Но поскольку , имеем

(В данном случае средняя арифметическая величина вычисляется делением на (Ν-2), поскольку две степени свободы были утеряны при вычислении и .)

Для акций А вычисления дают:

Соответственно, и .

Для наглядности сведем данные регрессионного анализа для акций А, В и С в табл. 3.6.

Таблица '3.6

Данные, полученные с использованием регрессионной

модели

Компания

А

0,2494

-0,9787

0,014

0,0075

0,0073

В

-0,0117

0,9470

0,019

0,0070

0.0136

С

0,1165

0,5256

0,036

0,0022

0,0378

* Были вычислены ранее без регрессионных формул.

Использование модели Шарпа для построения границы аффективных портфелей

Одно из главных достоинств модели Шарпа состоит в том, что она позволяет значительно сократить объемы вычислений при определении оптимального портфеля, давая при этом результаты, близко совпадающие с получаемыми результатами по модели Марковица.

Следует иметь в виду, что У. Шарп, по сути, модернизирует модель Марковица, и главная идея Г. Марковица используется и в модели Шарпа: чтобы сформировать оптимальный портфель, инвестору необходимо сначала построить границу эффективных портфелей. А для этого, как известно, надо сначала вычислить три необходимые характеристики каждой акции портфеля: ожидаемую доходность Ε(ri), дисперсию доходности α и ковариации доходности σi,j. Модель Шарпа отличается от модели Марковица прежде всего тем, что в этой модели иначе рассчитываются три необходимые характеристики акций портфеля.

У. Шарп использует и основные допущения модели Марковица: инвестирование также предполагается на один шаг (холдинговый период), рынки ценных бумаг являются эффективными, доходности акций изменяются случайным образом и распределены по нормальному закону, акции портфеля можно разделить на неограниченное количество частей.

Однако У. Шарп вводит дополнительные начальные условия. Если предположить, что инвестор формирует портфель из п ценных бумаг, то будем дополнительно считать, что:

  • 1) средняя арифметическая (ожидаемая) величина случайных ошибок для всех акций портфеля, т.е. для i=l, 2, ..., n;
  • 2) дисперсия случайных ошибок для каждой ценной бумаги за будущий холдинговый период не меняется (постоянна);
  • 3) для каждой акции портфеля отсутствует корреляция между наблюдаемыми в течение N шагов расчета величинами случайных ошибок, т.е. (t = 1, 2, ..., N);
  • 4) отсутствует корреляция между случайными ошибками любых двух ценных бумаг в портфеле, иначе говоря,
  • 5) отсутствует корреляция между случайными ошибками и рыночной доходностью, т.е.
 
Если Вы заметили ошибку в тексте выделите слово и нажмите Shift + Enter
< Предыдущая   СОДЕРЖАНИЕ   Следующая >
 

Популярные страницы