Модель межотраслевого баланса

Сбалансированное развитие отраслей народного хозяйства страны (района) осуществляется на основе разработки межотраслевого баланса производства и распределения продукции. Модель межотраслевого баланса (МОБ), представленная в матричной (табличной) форме, отражает производство и распределение общественного продукта в отраслевом разрезе, межотраслевые производственные связи, использование материальных и трудовых ресурсов, создание и распределение национального дохода.

Математическая модель МОБ (на основе учета межотраслевых материальных связей в статической форме) выглядит как

где – валовой выпуск продукции i-й отраслью в данном году; – коэффициент прямых затрат продукции i-й отрасли на единицу выпуска j-й отрасли; – валовой выпуск продукции j-й отраслью; yi – конечный продукт i-й отрасли.

Модель межотраслевых материальных связей используется в кратко- и среднесрочном прогнозировании для многовариантных расчетов сбалансированного развития экономики страны (региона). Можно выделить три типовые задачи:

  • 1) определение сбалансированных выпусков отраслей, обеспечивающих задаваемые варианты конечного спроса;
  • 2) определение объемов конечного спроса исходя из заданных выпусков отраслей;
  • 3) расчеты сбалансированных объемов выпуска и конечного спроса со смешанным составом неизвестных.

Среди математических моделей широкое применение при размещении производительных сил получили оптимизационные, в первую очередь модели линейного программирования: транспортная, транспортно-производственная и распределительная задачи. Базовой среди названных выше моделей является транспортная задача линейного программирования, две другие – ее обобщения.

Модель транспортной задачи линейного программирования

Эта модель позволяет определить оптимальную схему перевозок между производителями и потребителями продукции. В общем виде ее можно сформулировать следующим образом.

В пунктах производится некий однородный продукт. Объемы производства соответственно равны . Указанный продукт потребляется в п пунктах (). Спрос на продукт в пунктах соответственно равен . Предполагается, что общий объем производства равен общему потреблению продукта:

Транспортировка продукта возможна из каждого пункта производства в любой пункт потребления. Известны также транспортные затраты на перевозку единицы продукта из 2-го пункта производства в j-й пункт потребления (сij).

Необходимо определить такое прикрепление поставщиков к потребителям, которое обеспечило бы минимальные транспортные затраты, связанные с доставкой продукции из пунктов производства в пункты потребления.

Если обозначить величину потока из i-го пункта производства в j-й пункт потребления через xij, то краткая запись транспортной задачи линейного програ́ммирования будет иметь следующий вид.

Требуется определить набор X величин (, ), удовлетворяющих условиям

и минимизирующих линейную форму

Аналитических методов решения транспортной задачи много. Рассмотрим один из них – метод потенциалов. Решение транспортной задачи методом потенциалов осуществляется поэтапно, постепенным приближением к оптимальному варианту (плану). Расчет и анализ вариантов удобно проводить по таблице (табл. 3.1).

Таблица 3.1

Анализ вариантов решения транспортной задачи

Поставщик

Предложение

Потребитель и спрос

Потенциал строк (Ui)

B1

B2

Bn

b1

b2

bn

А1

α1

C11

X11

d11

C12

X12

d12

C1n

X1n

d1n

А2

Α2

C21

X21

d21

C22

X22

d22

C2n

X2n

d2n

Аm

αm

Cm1

Xm1

dm1

Cm2

Xm2

Dm2

Cmn

Xmn

Dmn

Потенциал столбцов ( Vj)

Шаг 1. Построение исходного опорного плана (метод минимального элемента). Решение начинается с определения первоначального базисного варианта поставок. Составляется исходный опорный план рассматриваемой задачи. Для этого во множестве удельных транспортных издержек (матрице транспортных затрат С) выбирается наименьшая себестоимость перевозок (минимальный элемент). В соответствующую клетку расчетной таблицы записывается поставка .

Возможны два варианта: и . В первом случае определяются элементы i-й строки матрицы (плана) , которые кроме элемента равны нулю. Во втором – элементы j-го столбца, которые кроме элемента равны нулю. Вычеркивается из матрицы С либо i-я строка, либо j-й столбец, получается матрица С1. Далее проводятся уже описанные операции применительно к матрице С, и величинам . В результате заполняется еще одна линия (строка или столбец) матрицы X и т.д. Процесс продолжается до полного заполнения матрицы . Всего должно быть заполнено клеток.

Если число прикреплений не равно , то план называется вырожденным. Чтобы этого не произошло, необходимо искусственно загрузить недостающее количество клеток матрицы, для чего в них записывается 0. В последующих расчетах с этой клеткой оперируют как с загруженной. Нуль следует ставить в ту клетку, которая лежит на пересечении строки или столбца, не имеющих потенциалов, со строкой или столбцом, для которых потенциалы уже определены.

Шаг 2. Проверка оптимальности плана перевозок. Допустимый план прикрепления тогда и только тогда является оптимальным, когда каждому пункту производства и потребления можно сопоставить оценки (потенциалы), удовлетворяющие условиям:

а) для пунктов потребления и производства, между которыми запланированы перевозки, разность потенциалов должна совпадать с удельными транспортными затратами между этими пунктами:

б) для всех остальных пар пунктов эти же разности не должны превосходить удельных транспортных затрат между ними:

где – потенциал столбца; – потенциал строки.

По́тенциалы определяются по следующему правилу. Для одной из строк (отправителей) принимают потенциал Ui, равный 0. Остальные потенциалы определяются по загруженным клеткам исходя из следующих формул:

• для строк

• для столбцов

В заключение шага рассчитываются характеристики незагруженных клеток по формуле

Если имеется хотя бы одна отрицательная характеристика, то переходят к шагу 3.

Шаг 3. Составление нового плана перевозок. 1. Выбирается клетка с наибольшей отрицательной характеристикой, и для нее строится замкнутая цепь. Цепь строят следующим образом. От выбранной незагруженной клетки проводят прямую линию по строке либо по столбцу до загруженной клетки, которой, в свою очередь, должна соответствовать еще одна загруженная клетка под прямым углом. И так до тех пор, пока линия не замкнется в исходной клетке. Вид цепи может быть разнообразным, однако все углы цепи должны быть прямыми, число вершин цепи – обязательно четное. Клетки, где горизонтальные и вертикальные линии цени пересекаются, не являются вершинами цепи. Вершиной цепи является лишь та загруженная клетка, где эти линии образуют один прямой угол.

  • 2. Всем вершинам цепи поочередно, начиная с клетки, для которой строится цепь, присваиваются знаки "+" и "-". Из всех клеток, обозначенных знаком "-", выбирается наименьшая цифра загрузки.
  • 3. Эта величина перераспределяется по цепи (прибавляется к загрузкам положительных клеток и вычитается из загрузок отрицательных клеток), составляется новый план перевозок.

Шаги 2 и 3 последовательно повторяются до получения во всех клетках положительных характеристик. Последнее говорит об оптимальности полученного плана перевозок.

 
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ     След >