Множественная регрессия

В экономике значения результатов деятельности складываются под воздействием не одного, а многих факторов. Построение модели многофакторного регрессионного анализа позволяет определить не только степень влияния каждого из факторов на исследуемый показатель, но и моделировать этот показатель, задаваясь значениями того или иного фактора.

В общем виде линейное уравнение множественной регрессии выглядит следующим образом:

где у – результативный показатель;

– факторы, оказывающие влияние на результативный показатель;

– коэффициенты регрессии, показывающие степень влияния факторов на результативный показатель.

По коэффициентам уравнения регрессии определяется доля влияния каждого фактора на величину изменения исследуемого показателя. С изменением величины любого фактора зависимая переменная изменяется с учетом значения коэффициента регрессии и знака в уравнении при этом факторе.

Чтобы построить многофакторную регрессионную модель, необходимо отобрать факторы, в наибольшей степени влияющие на результативный показатель. Это достигается при помощи определения тесноты связи между показателями, например, при помощи расчета коэффициента парной корреляции.

В уравнение регрессии не рекомендуется включать факторы, слабо связанные с результативным показателем, но тесно связанные с другими факторами. Не включают в уравнение и факторы, имеющие тесную корреляционную связь (коэффициент корреляции равен 1). Включение таких факторов приводит к неопределенности решения задачи.

Пример

Определить влияния факторов численности работающих и объема выпуска продукции на прибыль предприятия при следующих исходных данных.

Прибыль, тыс. руб.

(у)

Численность работающих, чел. (x1)

Объем выпуска продукции, тыс. руб. (x2)

1150

38

12 000

1180

40

12 200

1195

38

12 280

1210

36

12 300

1240

35

12 380

1260

34

12 420

1240

34

12 450

1270

33

12 500

1290

31

12 500

Допустим, что связь между показателями прямолинейная. Это позволяет приступить к формированию линейной двухфакторной регрессионной модели:

Для определения параметров по способу наименьших квадратов необходимо решить следующую систему трех нормальных уравнений:

Расчеты представлены в следующей таблице.

y

x1

x2

x21

x22

x1x2

yx1

ух2

yx1x2

1150

38

12 000

1444

144 000 000

17 328 000

43 700

13 800 000

864,36

1180

40

12 200

1600

148 840 000

19 520 000

47 200

14 396 000

1079,26

1195

38

12 280

1444

150 798 400

17 732 320

45 410

14 674 600

1165,22

1210

36

12 300

1296

151 290 000

15 940 800

43 560

14 883 000

1186,71

1240

35

12 380

1225

153 264 400

15 165 500

43 400

15 351 200

1272,67

1260

34

12 420

1156

154 256400

14 357 520

42 840

15 649 200

1315,65

1240

34

12 450

1156

155 002 500

14 392 200

42 160

15 438 000

1347,88

1270

33

12 500

1089

156 250 000

13 612 500

41 910

15 875 000

1401,61

1290

31

12 500

961

156 250 000

12 012 500

39 990

16 125 000

1401,61

Итого:

11 035

319

111 030

11 371

1 369 951 700

140 061 340

390170

136 192 000

11 034,98

Подставим данные таблицы в систему нормальных уравнений.

Для решения системы нормальных уравнений разделим все члены уравнений на коэффициент при а0:

Вычтем из первого уравнения второе и третье и получим:

Разделим все члены уравнений на коэффициент при и вычтем из первого уравнения второе:

Подставим значение параметра a1 в уравнение и получим:

Аналогично определяется параметр a0, который будет равен:

Уравнение множественной регрессии, характеризующее прибыль предприятия от численности работающих и объема выпуска продукции, будет иметь следующий вид:

Коэффициент при значениипоказывает несущественное влияние численности работающих на показатель прибыли предприятия. Значение свободного члена характеризует большое влияние неучтенных факторов.

Для определения тесноты связи для множественной регрессии рассчитывается коэффициент множественной корреляции, для определения которого предварительно необходимо рассчитать коэффициенты парной корреляции. Для нашего примера коэффициент парной корреляции между прибылью и численностью работающих составляет , а между прибылью и объемом продукции – , между факторными показателями – , т.е. связь между показателями тесная.

Коэффициент множественной корреляции имеет вид:

Коэффициент колеблется в пределах от 0 до 1. Чем ближе коэффициент множественной корреляции к единице, тем в большей степени учтены факторы, влияющие на результативный признак.

По уравнению регрессии можно вычислить вероятное значение результирующего показателя.

 
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ     След >