Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Товароведение arrow Архитектурно-строительные конструкции

Безмоментная теория оболочек

Безмоментная теория оболочек представляет собой упрощенный вариант общей теории, в котором пренебрегают влиянием изгибающих и крутящих моментов, а также поперечных сил на напряженно-деформированное состояние.

Для того чтобы существовало безмоментное напряженное состояние, необходимы следующие условия.

  • 1. Оболочка должна иметь форму плавно изменяющейся непрерывной поверхности с постоянной или плавно меняющейся толщиной h. Резкое изменение указанных величин создает разницу в деформациях и вызывает изгиб. В местах резкого изменения геометрии оболочки (скачка) величины перемещений, определяемых по безмоментной теории, терпят разрыв.
  • 2. Нагрузка на оболочку должна быть плавной и непрерывной. Безмоментная оболочка не может работать на сосредоточенную силу, перпендикулярную ее поверхности.
  • 3. Закрепление краев оболочки должно быть таким, чтобы ее край мог свободно перемещаться по нормали. Углы поворота и нормальные перемещения на краях оболочки не должны быть стеснены.
  • 4. Силы, приложенные к краю оболочки, должны лежать в касательной плоскости.

Наиболее выгодным для работы оболочки является безмоментное состояние. К нему и стремятся, придавая оболочке соответствующую форму и закрепляя ее надлежащим образом. Безмоментная теория – это аппарат, который в одних случаях дает строгое описание, в других – достаточно хорошее приближенное описание напряженно-деформированного состояния оболочек. В ряде случаев безмоментная теория неприменима вовсе.

Уравнения безмоментной теории получим как частный случай уравнений равновесия (7.1) общей моментной теории при условии равенства нулю моментов Ми, Мг, Н:

(7.4)

Расчет оболочек вращения по безмоментной теории

Рассмотрим оболочку вращения с произвольным меридианом (рис. 7.17), который, вращаясь вокруг оси вращения, формирует срединную поверхность оболочки вращения.

Сечение оболочки вдоль меридиана

Рис. 7.17. Сечение оболочки вдоль меридиана

Примем за параметр и угол между нормалью к меридиану и осью вращения Oz, за параметр v – центральный угол вращения точки С вокруг оси Oz, отсчитываемый от оси Ох в сторону оси Оу. Принятая система криволинейных координат и, v будет координатной системой в линиях главных кривизн.

Согласно рис. 7.17 имеем: , , т.е.

Далее: ; поэтому . Кроме того, из рис. 7.17 очевидно, что . Тогда

Подставляем значения в уравнения равновесия безмоментной теории (7.4):

(7.5)

Далее будем рассматривать осесимметричную задачу, которая возможна при Y = 0. В этом случае в уравнениях исчезнут члены, содержащие производные по v, так как внутренние усилия будут зависеть только от параметра и. В этом случае система (7.5) упростится и примет вид

(7.6)

Из последнего уравнения находим значение нормального усилия:

(7.7)

подставив которое в первое уравнение системы (7.6), получаем

Интегрируя результат подстановки, находим

(7.8)

где постоянная интегрирования С находится из граничных условий. После вычислениянаходим по формуле (7.7).

Пример 7.1. Рассчитаем по безмоментной теории сферическую оболочку радиусом R, изображенную на рис. 7.18. Оболочка нагружена внешним давлением р.

К примеру 7.1

Рис. 7.18. К примеру 7.1

Все условия существования безмомснтного напряженного состояния в этом случае выполняются, поэтому будем использовать формулы (7.7) и (7.8),в которые необходимо подставить X = О, Z = (см. рис. 7.17), :

Для определения константы С можно использовать следующее рассуждение: в вершине конуса, т.е. при , не может быть бесконечно большого значения нормальной силы, а чтобы выполнить это условие, необходимо положить С = 0. Таким образом, получаем . По формуле (7.7) определяем . Следовательно, любой фрагмент оболочки, границы которого совпадают с координатными линиями (меридианами и параллелями), будет сжат в обоих направлениях нормальными силами -pR/2 [Н/м]. Касательное усилие в осесимметричной задаче для оболочек вращения равно нулю (S = 0).

Расчет осесимметричных тонких оболочек вращения по моментной теории

Для осесимметричной оболочки вращения имеем

Кроме того, ранее было определено

Подставляем выписанные значения в уравнения равновесия (7.1):

(7.9)

Выпишем геометрические соотношения (7.2) с учетом осесимметричности оболочки:

(7.10)

Введем вспомогательные функции

Функции χ, ψ убыли предложены швейцарским ученым Е. Мейсснером в 1913 г. Усилия и моменты могут быть выражены через введенные функции:

где – значения нормальных сил, определенные по безмоментной теории расчета; – цилиндрическая жесткость оболочки на изгиб; h = const – толщина оболочки.

Если подставить значения нормальных сил в уравнения равновесия (7.9), то первые два уравнения обратятся в тождество, а третье примет вид

(7.11)

где обозначено

L(...) – дифференциальный оператор Мейсснера.

С помощью геометрических уравнений (7.10), выраженных через введенные функции ψ, χ, и выразив деформации через – через , используя формулы закона Гука в теории оболочек, Мейсснер получил второе уравнение

(7.12)

Таким образом, задача расчета произвольных осесимметричных оболочек вращения постоянной толщины заключается в определении функций Мейсснера ψ, χ из системы двух обыкновенных дифференциальных уравнений четвертого порядка (7.11), (7.12). Затем определяются внутренние усилия и моменты.

 
Если Вы заметили ошибку в тексте выделите слово и нажмите Shift + Enter
< Предыдущая   СОДЕРЖАНИЕ   Следующая >
 

Популярные страницы