Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Товароведение arrow Архитектурно-строительные конструкции

Численные методы расчета

Современный уровень развития компьютерных технологий определил специфику методов расчета строительных конструкций на прочность, жесткость и устойчивость. Если несколько десятилетий назад преобладали аналитические методы определения НДС элементов сооружений, а также экспериментальные исследования, то сейчас при бурном развитии электронно-вычислительных машин (ЭВМ) в строительной механике начинают превалировать численные методы расчета строительных конструкций.

Численные методы по определению являются приближенными. Вместо того чтобы разыскивать сложные функции, удовлетворяющие дифференциальным уравнениям, описывающим исследуемое явление, и краевым условиям, вводят набор известных простых (очень часто – кусочно-непрерывных) базисных функций, с помощью которых находят производные, входящие в дифференциальные уравнения или выражения механической энергии изучаемого объекта. В итоге непрерывная функция одного или нескольких аргументов представляется ее значениями в некоторых точках (узлах), а операции анализа непрерывных функций заменяются алгебраическими действиями со значениями функций в выбранной сетке узлов. Таким образом, численные методы приводят решение физико-математических задач к простейшим вычислительным процедурам, которые выполняются, как правило, с помощью ЭВМ.

Метод конечных разностей

Метод конечных разностей (МКР) является приближенным методом решения краевых задач для дифференциальных уравнений. Его еще называют методом сеток. Существо метода следующее. На рассматриваемую область (ось стержня, срединную поверхность оболочки или объемное тело) наносим сетку узлов (соответственно одномерную, двумерную или трехмерную). Производные, которые входят в дифференциальные уравнения, описывающие деформирование элементов строительных конструкций, и краевые условия приближенно заменяем соответствующими разностными соотношениями по формулам численного дифференцирования и, следовательно, выражаем через неизвестные значения искомой функции в узлах сетки. В результате сводим задачу к системе алгебраических уравнений, в которой неизвестными величинами являются значения искомых функций в узлах ранее созданной сетки. Решив эту систему и, при необходимости, проинтерполировав узловые значения искомых функций в промежутках между узлами сетки, в итоге получим приближенное численное решение поставленной задачи.

Существенное преимущество метода конечных разностей по отношению к другим численным методам – это несильная зависимость используемого алгоритма от вида дифференциальных уравнений и краевых условий задачи. Недостаток же состоит в том, что приходится решать системы алгебраических уравнений высоких порядков. Этот недостаток смягчается тем, что матрицы систем уравнений – неполностью заполненные (ленточные). Метод конечных разностей также затруднительно использовать при решении задач о сопряжении конструкций различной размерности (например, оболочек и объемных тел), многосвязных (с вырезами), при смешанных граничных условиях и т.д.

Вариационно-разностный метод

Вариационно-разностный метод (ВРМ) базируется на вариационных принципах механики и свободен от ряда недостатков, присущих МКР. В данном случае деформирование строительной конструкции описывается неким функционалом, чаще всего это выражение потенциальной энергии системы – функционал Лагранжа, который в положении равновесия системы является стационарным. Условие стационарности функционала соответствует дифференциальным уравнениям, которыми описывается поведение изучаемой системы, однако порядок производных, входящих в функционал, ниже порядка производных в дифференциальных уравнениях, что дает возможность упростить алгоритмизацию процесса решения задачи. Кроме того, ВРМ позволяет упростить запись граничных условий. Так, при использовании функционала Лагранжа требуется удовлетворять только кинематическим краевым условиям, так как статические условия уже содержатся в вариационных уравнениях. Эти условия называют естественными.

При реализации ВРМ вариационная задача заменяется конечно- разностным аналогом па заранее выбранной сетке узлов, т.е. производные от непрерывных функций, входящих в выражение, например, потенциальной энергии рассматриваемой системы, определяются численно в назначенных узлах с помощью конечно-разностных соотношений. Кроме того, ввиду необходимости вычисления определенного интеграла, входящего в выражение функционала энергии, в областях рассматриваемой системы между узлами вводят кусочно-непрерывные так называемые функции восполнения. От характера этих функций зависит степень конечно-разностной аппроксимации. В итоге процедура ВРМ сводится к хорошо обусловленной симметричной системе алгебраических уравнений (при использовании функционала Лагранжа) ленточной структуры.

 
Если Вы заметили ошибку в тексте выделите слово и нажмите Shift + Enter
< Предыдущая   СОДЕРЖАНИЕ   Следующая >
 

Популярные страницы