Отрицание суждений

Отрицание суждений – логическая операция, в результате которой образуются новые суждения, противоречащие исходному. Символическое обозначение: ┐Α.

Необходимость осуществления этой операции возникает в тех случаях, когда простые и сложные суждения предварены словами "не" или "неверно, что". Для прояснения смысла суждений в этом случае их необходимо преобразовать в эквивалентные суждения, перед которыми отрицание не стоит. Преобразование в данных случаях осуществляется согласно следующим эквивалентностям:

Простые суждения

Отрицание единично-утвердительного суждения эквивалентно единично-отрицательному.

Отрицание единично-отрицательного суждения эквивалентно единично-утвердительному.

Например, отрицание суждения: "Неверно, что Москва не является столицей РФ" даст суждение: "Москва – столица РФ".

При отрицании категорических суждений меняется их качество и количество, от рицание производится согласно следующим закономерностям:

  • 1) ┐А эквивалентно О;
  • 2) ┐Е эквивалентно I;
  • 3) ┐I эквивалентно Е;
  • 4) ┐О эквивалентно А.

Например, отрицание категорического суждения "Неверно, что все студенты нашей группы – отличники" (┐А) дает суждение "Некоторые студенты нашей группы не являются отличниками" (О).

Отрицание суждений с отношениями

  • 1. Отрицание утвердительного единично-единичного суждения эквивалентно отрицательному единично-единичному суждению, и наоборот, отрицание отрицательного единично– единичного суждения эквивалентно утвердительному единичноединичному суждению.
  • 2. Отрицание единично-множественных и множественноединичных суждений производится согласно следующим эквивалентностям:
  • 1) ┐"x R(a, х) эквивалентно $хR(a, х);
  • 2) ┐ "x R(x, a) эквивалентно $хR(x, a);
  • 3) ┐ $х R(a, х) эквивалентно "xR(a, x);
  • 4) ┐$х R(x, a) эквивалентно "xR(x, a);
  • 5) ┐"xR(a, x) эквивалентно $х R(a, x);
  • 6) ┐"xR(x, а) эквивалентно $х R(x, a);
  • 7) ┐$хR(a, x) эквивалентно "x R(a, x);
  • 8) ┐$хR(x, a) эквивалентно "x R(x, a).
  • 3. При отрицании множественно-множественных суждений с отношениями меняется качество суждения и кванторы:
  • 1) ┐"x"y R (х, у) эквивалентно $х $yR(x, у)•,
  • 2) ┐"x$y R (х, у) эквивалентно $х"yR(x, у);
  • 3) ┐$х"y R (х, у) эквивалентно "x$yR(x, у);
  • 4) ┐$х$y R (х, у) эквивалентно "x"yR(x, у);
  • 5) ┐"x"yR (х, у) эквивалентно $х$y R(x, у);
  • 6) ┐"x$yR (х, у) эквивалентно $х"y R(x, y);
  • 7) ┐$х"xR (х, у) эквивалентно "x$y R(x, у);
  • 8) ┐$х$yR (х, у) эквивалентно "x"y R(x, у).

Например, произведем отрицание суждения: "Неверно, что существуют школьники, которые не знают некоторых своих преподавателей" – это частноотрицательное суждение. В символической записи: ┐$х$yR(x, у); оно эквивалентно суждению: "x"yR(x, у), т.е. "Каждый школьник знает всех своих преподавателей".

Отрицание сложных суждений

Отрицание сложных суждений производится согласно следующим эквивалентностям:

  • 1) ┐ (АВ) эквивалентно ┐А U ┐В;
  • 2) ┐(A U В) эквивалентно ┐А ∩ ┐В;
  • 3) (А ) эквивалентно А ∩ ┐В;
  • 4) ┐ (А ↔В ) эквивалентно (┐AВ) U (А ∩ ┐В);
  • 5) (AВ) эквивалентно A↔В.

Построение таблицы истинности

Таблицы истинности для суждений, в которые входят более двух переменных, строятся по определенным правилам.

Пусть необходимо построить таблицу истинности для следующего суждения: (q ∩ s)).

Для определения количества строк в таблице истинности воспользуемся следующей формулой: 2n, где 2 – логическая константа, так как любое суждение может быть либо истинным, либо ложным, третьего в двухзначной логике не дано; п – количество простых суждений, входящих в состав данного сложного суждения (р, q, s), т.е. количество строк равно 23 = 8.

Алгоритм распределения значений "и" и "л" для переменных таков:

  • – в столбце для р сначала пишем четыре раза "и" и четыре раза "л";
  • – в столбце для q сначала пишем два раза "и" и два раза "л", затем повторяем;
  • – в столбце для s поочередно, начиная со значения "и", чередуем значения.

Пример сложного суждения (р→(qs)) приведен в табл. 5.7.

Таблица 5.7

p

q

s

q ∩ s

р→(q∩s)

и

и

и

и

и

и

и

л

л

л

и

л

и

л

л

и

л

л

л

л

л

и

и

и

и

л

и

л

л

и

л

л

и

л

и

л

л

л

л

и

Порядок выполнения действий в данной таблице такой же, как и в математике: вначале выполняются действия в скобках, а затем между скобками. В зависимости от распределения значений "истина" и "ложь" в результирующем столбце в логике различаются три вида формул:

  • 1) выполнимая формула – та, которая в результирующем столбце может принимать по крайней мере одно значение "истина";
  • 2) тождественно-ложная формула – та, которая принимает только значение "ложь";
  • 3) тождественно-истинная (или логический закон) формула – та, которая в результирующем столбце принимает только значение "истина".

Результирующим является столбец таблицы истинности, который соответствует последнему выполняемому действию.

Данная формула р → (g∩s) является выполнимой, так как в результирующем столбце она принимает как значение "истина", так и значение "ложь".

 
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ     След >