Обратные вычисления на многоаргументных функциях Процедура свертки/развертки

В экономических расчетах нередко используются функции, количество аргументов в которых более двух. В этих случаях рекомендуется применение процедуры свертки/развертки, что позволит существенно упростить процесс обратных вычислений путем применения стандартных базовых конструкций.

Процедура свертки/развертки достаточно проста и основывается на введении фиктивных переменных, объединяющих блоки по два аргумента. Допустим, имеется функция с тремя аргументами:

, где

Заменим знаменатель следующим образом:

Знак около р указан "плюс", так как .

Вначале выполняется процедура свертки в соответствии со следующими правилами:

• • последовательно объединять аргументы числом два в группы, обозначая полученные пары новыми идентификаторами;
• • если знаки приростов полученных пар аргументов одинаковы, то общий знак прироста будет тот же, что и аргументов, в противном случае указывается знак аргумента, имеющего большую приоритетность;
• • если знаки приростов полученных пар аргументов различны, но при этом приоритетность одинакова, то в качестве общего знака прироста указывается любой из них;
• • коэффициент приоритетности объединенной группы равняется сумме коэффициентов приоритетности аргументов;
• • определяется общий прирост, зависящий от суммы коэффициентов приоритетности группы объединенных аргументов.

После свертки функции происходит вычисление новых значений ее аргументов. Осуществление обратного процесса - развертки – реализуется но следующим правилам:

• выполняется перемормирование коэффициентов приоритетности для отдельных аргументов, объединенных в группу, по формулам

• определяется прирост аргументов, объединенных в группу. Рассмотрим пример.

Пример 7. Пусть заданы формулы

Иллюстрацией приведенных правил может служить рис. 2.10, где представлена функция с тремя аргументами: вначале ее исходный вид (а), затем свернутый (б), часть функции, требующей нормирования (в), и, наконец, результаты нормирования (г).

Рис. 2.10. Сведение трехаргументной функции к двум аргументам

Проведем необходимые расчеты.

Расчет для Р: если

, то тогда

Проверка:

Расчет для при

Если то. Тогда получим

Проверка:

Применение систем со многими уравнениями

Этот метод предполагает решение системы уравнений, количество которых больше двух. При этом применение процедуры свертки/развертки либо нецелесообразно, либо невозможно. Рассмотрим функцию с тремя аргументами.

Целевая установка:

Если для расчета приростов аргументов воспользоваться индивидуальными коэффициентами, то получим

Задача обратных вычислений примет вид

Ограничения на значения исходных данных устанавливаются из семантики индивидуальных коэффициентов: .

Пример 8. Вложения во внеоборотные активы (П), как правило, состоят из приобретения объектов основных средств (З), приобретения нематериальных активов (О) и приобретения земельных участков (В). Формула расчета имеет вид

Допустим, целевая установка следующая: необходимо увеличить общие вложения во внеоборотные активы за счет увеличения объектов основных средств и нематериальных активов и сокращения земельных участков. Все это отражается на формуле следующим образом:

где – коэффициенты относительной важности целей, отражаемых аргументами Р, О и В. Задачу будем решать с помощью индивидуальных коэффициентов:

Запишем задачу обратных вычислений:

Решив данную систему относительно , можно получить приросты для аргументов Р, О и В.

Применение уравнений высших порядков

Иногда ни один из рассмотренных выше методов не дает корректных результатов (допускаются слишком малые диапазоны приростов аргументов функций, требуются иные значения коэффициентов приоритетности, в результате решения задачи происходит деление на ноль и т.д.). В этом случае можно прибегнуть к уравнениям высших порядков. Пусть численность вспомогательных рабочих определяется по формуле

где Ч – численность вспомогательных рабочих; М – число мест вспомогательных рабочих; С – количество рабочих смен; К – коэффициент списочного состава.

Необходимо за счет увеличения всех аргументов повысить численность вспомогательных рабочих. При этом целевая установка следующая:

Если ввести, как и ранее, единую величину , умножение па которую коэффициента приоритетности позволит получить искомые проросты аргументов, то можно получить следующее:

Это позволяет записать задачу в виде

Отсюда получим

Решить это уравнение можно с помощью метода Кардано. Подобным образом можно вывести уравнения для любого количества аргументов, что, однако, вынуждает прибегать к численным решениям уравнений высших порядков.