Содержание и применение регрессионного анализа

Общая характеристика метода и некоторые модели

Регрессионный анализ представляет собой метод анализа зависимости случайной результативной величины У от факторов xj (j = 1, 2, ..., k), рассматриваемых как детерминированные величины. Такой анализ позволяет исследовать форму стохастической связи, в то время как в корреляционном анализе исследуется ее сила.

Теория регрессионного анализа основана на применении метода наименьших квадратов. Она изложена в многочисленных учебниках по математической статистике и эконометрике, а также реализована в программном обеспечении по статистике. Различается одно- и многофакторный регрессионный анализ. В первом случае результатом является уравнение парной регрессии у́ = f(х), а во втором – множественной у́ = f (х1, ..., хk).

Выбор аналитической модели осуществляется исследователем прежде всего на основании неформального, содержательного представления характера исследуемой зависимости.

Некоторые функции приведены в табл. 19.1. Первая из них линейная, а остальные – линеаризуемые.

Таблица 19.1

Некоторые линейные и линеаризуемые функции

Функция

Зависимость

Линейная парная*

Линейная многофакторная

Парабола

Кубическая парабола

Полином £-й степени

Степенная

Степенная многофакторная

Логарифмическая

Экспоненциальная

Модифицированная показательная

Гиперболическая

Обратная модель

Показательная

Логарифмическая парабола

Кривая Гомперца

Логистическая кривая

Торнквиста 1-го типа

Торнквиста 2-го типа

Торнквиста 3-го типа

*Возможность расчета имеется в Excel. Путь: сервис, анализ данных, регрессия. При равноотстоящих значениях х: мастер диаграмм, график.

Для расчета углового коэффициента b1 в линейном уравнении парной регрессии (уравнение 1) можно использовать удобную для расчета зависимость:

где п – число наблюдений; – средние величины. Свободный член .

Линеаризация функций для оценивания параметров по линейной регрессии

Наиболее полно разработан в теории и реализован в программном обеспечении линейный регрессионный анализ, когда метод наименьших квадратов применяется к уравнению в виде линейной зависимости некоторого результативного показателя от независимых переменных и от оцениваемых параметров. Если такая линейность отсутствует, то она может быть получена в результате замены исходных факторов новыми переменными и перехода от исходных параметров b к новым коэффициентам в результате преобразования уравнения целом. Иногда требуются и замена, и преобразование. Моделей, приводимых к стандартному линейному виду, достаточно много, что позволяет применять линейный регрессионный анализ при решении различных прикладных задач. Как отмечалось, все нелинейные уравнения в табл. 19.1 могут быть линеаризованы.

Наиболее типичные примеры замены переменных – замена величин хk в уравнениях полиномов и замена величины 1/х в гиперболической функции. В первом случае полиномиальная функция парной регрессии становится линейной функцией множественной регрессии. Преобразование показательной функции к стандартному виду осуществляется в результате логарифмирования левой и правой частей уравнения. То же справедливо для экспоненциальной и степенной функций. Для логарифмической параболы необходимы как логарифмирование, так и замена переменной х2 на новую переменную. Для полулогарифмической функции требуется замена переменной Inf па новую переменную. Несколько сложнее ситуация с обратной моделью. Она приводится к стандартному виду при обращении и левой, и правой частей уравнения. В результате получается 1/у=b0+b1х. Затем величина 1 заменяется на новую: z = 1/у. Для линеаризации модифицированной показательной кривой параметр k следует задать, исходя из содержательных соображений, тогда другие параметры определяются по методу наименьших, для чего величина к переносится в левую часть и затем уравнение логарифмируется. Оценивание параметров уровней Торнквиста также возможно[1].

  • [1] См., например, [48, 28].
 
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ     След >