Оценка параметров моделей с распределенными лагами

Модель с конечным числом лагов при правильной ее спецификации может быть оценена обычным МНК. В этом случае в уравнении

переменные рассматриваются как объясняющие переменные обычной множественной регрессии.

Вместе с тем применение МНК к моделям с конечным числом лагов может быть реально затруднено ввиду следующих причин:

  • 1) при наличии тенденции переменные тесно связаны между собой, что вызывает мультиколлинеарность факторов, которая может привести к не- интерпретируемым знакам у коэффициентов регрессии и к снижению их точности;
  • 2) возможна автокорреляция остатков, так как МНК применяется к временным рядам с тенденцией.

Поэтому нередко для оценки параметров модели с распределенным конечным числом лагов используются специальные методы преобразования, как и для модели с бесконечным числом лагов. Разработаны разные методы оценивания параметров моделей с распределенными лагами, которые учитывают характер распределения коэффициентов регрессии при лаговых объясняющих переменных. Иными словами, методы оценивания параметров модели с распределенными лагами основаны на изучении структуры лага. Так, предполагая полиномиальное распределение лаговых коэффициентов, используют метод Алмон, а при гипотезе геометрической прогрессии для лаговых коэффициентов применяется преобразование Койка.

Полиномиально распределенные лаги Алмон

В 1965 г. Ш. Алмон предложила способ оценки параметров модели с распределенными лагами на основе гипотезы о том, что лаговые коэффициенты регрессии аппроксимируются полиномом соответствующей степени от величины лага. Это значит, что в моделипараметр bj рассматривается как функция:

При этом априори выдвигается предположение о степени полинома. Как правило, используется многочлен невысокой степени

Предположим, чтоимеет распределение в виде параболы второй степени, т.е.. Тогда каждый из коэффициентовможно представить в виде

Подставим эти соотношения для bj, в модель с распределенными лагами

Перегруппируем слагаемые с одинаковыми значениями с:

Будем рассматривать слагаемые в скобках при как новые переменные z, т.е. модель с распределенными лагами примет вид

гдеопределяются как

Оценка параметров при преобразованных переменных ζ дается традиционным МНК. При этом случайные отклонения удовлетворяют предпосылкам МНК. Далее на основе параметровпереходим к оценке параметров, используя выражения коэффициентовчерез коэффициенты полинома:

В общем виде при степени полинома т модель регрессии с распределенными лагами примет вид

Как видим, в данной модели переменныепредставляют собой линейную комбинацию переменных и k лаговых переменных, веса при которых подчиняются полиномиальному распределению (рис. 7.1).

В матричном виде можно записать, что b = Нс, где

– матрица весов при лаговых коэффициентах ; с – вектор коэффициентов при переменных 2.

Тогда модель в целом принимает вид

Распределение лаговых переменных

Рис. 7.1. Распределение лаговых переменных

Стандартная ошибка коэффициентов регрессии при лаговых переменных определится как

Далее через t-критерий Стьюдента оценивается значимость коэффициентов .

Качество модели оценивается через коэффициент детерминации для уравнения регрессии от преобразованных переменных Z, т.е. по модели

Таким образом, применение метода Алмон включает в себя следующие этапы работы:

  • 1) определение максимальной величины лага к;
  • 2) определение степени полинома гл, описывающего распределение коэффициентов регрессиив зависимости от величины лага;
  • 3) расчет преобразованных переменных;
  • 4) расчет параметров линейной регрессии у от преобразованных переменных z, т.е. оценка ;
  • 5) переход к исходным параметраммодели с распределенными лагами.

Теоретически достаточно сложно определить максимальную величину лага к. В основном для этой цели используется экспериментальный путь: строится уравнение с большим числом последовательных лагов и с постепенным его уменьшением изучается значимость коэффициентов регрессии при лаговых объясняющих переменных. Останавливаются на варианте, для которого все коэффициенты регрессии статистически значимы.

Определение степени полинома т также связано с рядом трудностей. Формально можно изучать графически структуру лага (рис. 7.2).

Если с ростом величины лага; коэффициентыописываются кривыми, представленными на рис. 7.2г, то в расчетах могут быть использованы полиномы второй, третьей или четвертой степени. Рисунок 7.2, д предполагает линейную зависимостьот величины лага, а рис. 7.2, е показывает перевернутую V-образную структуру лага (например, при изучении капитальных вложений Де Лью в 1962 г. предложил подобную структуру лага). Однако учитывая, что оценки b, по МНК часто затруднены, исследователь, как правило, не располагает подобными графиками. Поэтому степень полинома задается исследователем, исходя из соответствующих теоретических соображений и результатов предыдущих исследований.

Рис. 7.2. Возможные распределения лаговых коэффициентов регрессии

Пример 7.1

По данным за 32 квартала об объеме продукции (у – в млн руб.) и инвестициях в основной капитал –в млн руб.) строится модель с распределенными лагами

Таблица 7.1. Объем продукции и инвестиции в основной капитал

квартала

yt

xt

xt-1

xt-2

xt-3

xt-4

z0

z1

z2

1

5,2

0,87

2

5,6

0,9

0,87

3

6,5

1,05

0,9

0,87

4

6,4

1,04

1,05

0,9

0,87

5

6,5

1,05

1,04

1,05

0,9

0,87

4,91

9,32

27,26

6

7,0

1,08

1,05

1,04

1,05

0,9

5,12

9,88

29,06

7

7,4

1,12

1,08

1,05

1,04

1,05

5,34

1,05

31,44

8

7,8

1,16

1,12

1,08

1,05

1,04

5,45

10,59

31,53

9

8,1

1,17

1,16

1,12

1,08

1,05

5,58

10,84

32,16

10

8,0

1,14

1,17

1,16

1,12

1,08

5,67

11,17

33,17

11

8,5

1,17

1,14

1,17

1,16

1,12

5,76

11,44

34,18

12

8,6

1,2

1,17

1,14

1,17

1,16

5,84

11,6

34,82

13

8,8

1,2

1,2

1,17

1,14

1,17

5,88

11,64

34,86

14

8,9

1,24

1,2

1,2

1,17

1,14

5,95

11,67

34,77

15

8,9

1,22

1,24

1,2

1,2

1,17

6,03

11,92

35,56

16

9,3

1,26

1,22

1,24

1,2

1,2

6,12

12,1

36,18

17

9,4

1,23

1,26

1,22

1,24

1,2

6,15

12,22

36,5

18

9,3

1,23

1,23

1,26

1,22

1,24

6,18

12,37

37,09

19

9,6

1,26

1,23

1,23

1,26

1,22

6,2

12,35

37,01

20

9,7

1,28

1,26

1,23

1,23

1,26

6,26

12,45

37,41

21

9,7

1,3

1,28

1,26

1,23

1,23

6,3

12,41

37,07

22

9,8

1,32

1,3

1,28

1,26

1,23

6,39

12,56

37,44

23

10,0

1,32

1,32

1,3

1,28

1,26

6,48

12,8

38,2

24

10,2

1,33

1,32

1,32

1,3

1,28

6,55

12,98

38,78

25

10,3

1,33

1,33

1,32

1,32

1,3

6,6

13,13

39,29

26

10,4

1,35

1,33

1,33

1,32

1,32

6,65

13,23

39,65

27

10,5

1,35

1,35

1,33

1,33

1,32

6,68

13,28

39,76

28

10,6

1,36

1,35

1,35

1,33

1,33

6,72

13,36

40

29

10,5

1,32

1,36

1,35

1,35

1,33

6,71

13,43

40,19

30

10,6

1,35

1,32

1,36

1,35

1,35

6,73

13,49

40,51

31

10,7

1,38

1,35

1,32

1,36

1,35

6,76

13,47

40,47

32

11

1,4

1,38

1,35

1,32

1,36

6,81

13,48

40,42

Предполагая квадратичную зависимостьот величины лага , имеем соотношения

Соответственно модель с распределенными лагами примет вид

Расчет преобразованных переменныхпредставлен в табл. 7.1, где

Применяя к данным обобычный МНК, получим следующее уравнение:

Все параметры уравнения статистически значимы ( при указывает на хорошее качество модели.

Далее найдем коэффициенты регрессии исходной модели, т.е. , используя выражениячерез коэффициенты:

Модель регрессии с распределенными лагами примет вид

Стандартные ошибки коэффициентов регрессии по модели следующие:

Для свободного члена а стандартная ошибка составила 0,313. Соответственно по t-критерию Стьюдента все параметры оказались статистически значимыми:

Модель показывает, что рост инвестиций в текущем периоде на 100 тыс. руб. способствует росту объема продукции в том же периоде в среднем на 377 тыс. руб., а через квартал – на 578 тыс. руб. В целом же через год прирост объема продукции за счет роста инвестиций на 100 тыс. руб. ожидается в размере 1,138 млн руб. (3,771 + 2,011 + 1,264 + 1,529 + + 2,808 = 11,383).

Определив относительные коэффициенты регрессии β;•, увидим, что половина воздействия фактора на результат реализуется с лагом в один квартал:

На графике (рис. 7.3) рассматриваемые коэффициенты регрессии представляют собой параболу второй степени.

Если к исходным данным нашего примера применить традиционный МНК, то результаты окажутся следующими:

Хотя коэффициент детерминации здесь даже чуть-чуть выше, но коэффициенты регрессии при лаговых переменных иоказываются статистически незначимыми:

Коэффициенты регрессии

Рис. 7.3. Коэффициенты регрессии

Кроме того, применяя метод Алмон, получаем стандартные ошибки коэффициентов регрессии меньше, чем при традиционном МНК:

 
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ     След >