Модели авторегрессии

Преобразование Койка сворачивает модель с распределенными лагами к модели авторегрессии, т.е. к модели, в правой части которой используется лаговая зависимая переменная. Это не единственный вид авторегрессионных моделей. Но все же достаточно распространенный:

(7.8)

Между тем интерпретация параметров данной модели имеет свою специфику, что и будет рассмотрено ниже.

Интерпретация параметров модели авторегрессии

Для модели (7.8), как и в модели с распределенными лагами, параметр b0 характеризует краткосрочное изменение под воздействием измененияна одну единицу. Параметр по существу представляет собой величинуиз преобразования Койка, т.е. , и показывает коэффициент снижения лаговых коэффициентов при увеличении величины лага в соответствии с концепцией их геометрического убывания. Следовательно, к моменту временирезультату изменится дополнительно на , а к моменту времени дополнительное изменение у составит единиц, к моменту времени единиц и т.д. Соответственно долгосрочный мультипликатор окажется равным

(в предположении бесконечного числа лагов).

С учетом геометрической прогрессии лаговых коэффициентов величина долгосрочного мультипликатора составит

Предположим, что по региону по данным временных рядов построена модель авторегрессии, описывающая зависимость сбережений на душу населения за год (– в тыс. ден. ед.) от среднедушевого совокупного годового дохода С– в тыс. ден. ед.) и сбережений предшествующего года

Уравнение показывает, что краткосрочное изменение размера сбережений с ростом дохода на 1 тыс. ден. ед. составляет в том же году 0,24 тыс. ден. ед.Через год рост дохода на 1 тыс. ден. ед. увеличит размер сбережений на 0,276 тыс. ден. ед. (0,24 + 0,24 • 0,15), т.е. дополнительно за год прирост составит 0,036 тыс. ден. ед. В дальнейшем величина дополнительного прироста будет убывать. Долгосрочный мультипликатор окажется равным 0,282 тыс. ден. ед. (0,24/0,85). Его величина характеризует прирост сбережений в долгосрочной перспективе с ростом дохода на 1 тыс. ден. ед. Трактовка данного мультипликатора на примере зависимости потребления от доходов была показана в 7.2.2.2.

Инструментальные переменные как метод оценивания параметров модели авторегрессии

В силу того, что в модели авторегрессии в правой части содержатся лаговые эндогенные переменные, принято считать, что оценка параметров традиционным МНК дает неудовлетворительные результаты.

Предположим, что рассматривается модель авторегрессии вида (7.8).

Применение для оценивания параметров это уравнения традиционного МНК возможно, если выполняется предпосылка МНК относительно отсутствия автокорреляции остатков. Между тем при наличии в правой части лаговой зависимой переменной может иметь место автокорреляция остатков. Кроме того, может иметь место и зависимость объясняющей переменной с остатками, т.е. нарушается предпосылка о гомоске- дастичности остатков. В силу этого классический МНК в случае малых выборок даст смещенные оценки параметров.

Одним из возможных методов оценивания параметров модели (7.8) является метод инструментальных переменных. Суть метода состоит в том, что вместо лаговой зависимой переменной у ,, для которой нарушается предпосылка МНК, используется другая переменная z, называемая инструментальной. При этом инструментальная переменная должна обладать двумя свойствами:

  • – она должна быть тесно коррелирована с лаговой переменной;
  • – она не должна коррелировать с остатками(случайными ошибками).

Иными словами, от модели авторегрессии (7.8) необходимо перейти к модели вида

(7.9)

Результаты регрессии по модели (7.9), естественно, зависят от того, насколько удачно подобрана инструментальная переменная. В качестве инструментальной переменной можно, например, взять оценку, т.е., полученную по регрессии от .

Поскольку в модели (7.9) предполагается наличие зависимостиот, то можно предположить, что также имеет место зависимостьот, т.е. найдем регрессию

(7.10)

Используя для оценки параметров уравнения (7.10) обычный МНК, что возможно ввиду отсутствия в правой части модели лаговой зависимой переменной, найдем теоретические значения, которые и будут рассматриваться как значения инструментальной переменной z в модели (7.9). Далее вновь применяем МНК уже к модели (7.9), т.е. по существу оценка параметров модели авторегрессии (7.8) будет найдена исходя из модели вида

(7.11)

Если вместо оценкиподставить выражение (7.10), то получим следующую модель:

(7.12)

Она представляет собой модель с распределенным лагом, оценка параметров которой может быть дана МНК.

Таким образом, используя в качестве инструментальной переменной оценки , исходя из регрессии от (7.10), модель авторегрессии (7.8) заменяют на модель с распределенным лагом (7.12).

Вместе с тем следует отметить, что применение рассмотренной инструментальной переменной может привести при практической реализации модели (7.8) к появлению коллинеарности факторов. Объясняется это тем, что в модель (7.8) одновременно вводятся в качестве объясняющих переменных линейно связанные и высококоррелируемые между собой и , ибо и , а соответственно и будет близок к единице. Однако если коллинеарность факторов не повлекла за собой неверные знаки у коэффициентов регрессии и не привела к большим стандартным ошибкам оценок, то применение инструментальной переменной можно считать возможным.

Пример 7.2

Применим метод инструментальных переменных к модели авторегрессии (7.8) по данным фирмы об импорте сырья (у – в т) товара и величине производства (х – в тыс. ед.) за январь–декабрь 2008–2009 гг.

Месяцы

1

2

3

4

5

6

7 8

9

10

11

12

2008 г.

У

164

162

165

168

172

177

182

186

187

191

196

201

X

78

81

89

76

105

101

93

94

107

103

116

170

2009 г.

У

213

211

219

228

232

239

244

249

255

264

265

267

X

101

110

138

145

180

165

144

130

155

142

151

305

Рассмотрим модель (7.8)

Для оценивания параметров этой модели введем инструментальную переменную . Используя МНК, получим уравнение регрессии

Уравнение регрессии значимо, как и его параметры. Подставляя в это уравнение значения, получим расчетные значения . Далее вновь применяем МНК к модели (7.8), в которой вместо фактических значений используются расчетные величины, т.е.. Результаты оказались следующими:

Уравнение авторегрессии в целом значимо, значимыми являются и коэффициенты регрессии.

Если к модели (7.8) сразу же применить МНК, т.е. без введения инструментальной переменной, то результаты окажутся следующими:

Хотя коэффициент детерминации для модели, оцененной по обычному МНК, выше, чем для модели с инструментальной переменной, но коэффициент регрессии при X, не только статистически не значим, но и имеет неверный знак, ибо увеличение объема продукции, на производство которой требуется ввоз сырья, ведет к росту величины импорта, что и показывает модель авторегрессии, оцененная с помощью метода инструментальных переменных.

Оценка автокорреляции остатков по модели авторегрессии

Рассмотренный ранее критерий Дарбина – Уотсона не применим для моделей авторегрессии, содержащих в составе объясняющих переменных лаговые значения зависимой переменной. Связано это с тем, что критерий Дарбина – Уотсона для модели авторегрессии может принимать значение, близкое к двум, как при отсутствии, так и при наличии автокорреляции остатков.

Предположим, что в модели авторегрессии (7.8) имеет место автокорреляция остатков, т.е. случайное отклонениеможно рассматривать как авторегрессию вида

(7.13)

где – коэффициент автокорреляции первого порядка;– случайная составляющая.

Тогда уравнение (7.8) можно представить как

(7.14)

В уравнении (7.14) связан с , как и по уравнению (7.8) связан с . Таким образом, имеется систематическая связь лаговой зависимой переменной со случайной компонентой. Применение теста Дарбина – Уотсона к модели (7.14) может показать отсутствие автокорреляции в остатках при наличии ее для остатков . Как указано в работе Э. Маленво[1], критерий Дарбина – Уотсона теряет мощность в авторегрессионных моделях. Дж. Дарбин предложил для моделей авторегрессии при оценке существенности автокорреляции остатков использовать другой критерий, который в литературе название h-статистика Дарбина:

(7.15)

где – коэффициент автокорреляции в остатках первого порядка, который практически используется при расчете критерия Дарбина – Уотсона, т.е.

где η – число наблюдений в модели; V – выборочная дисперсия коэффициента при лаговой зависимой переменной .

При большом числе наблюдений и при отсутствии в остатках автокорреляции первого порядка і-статистика Дарбина подчиняется стандартизированному нормальному распределению. Поэтому фактическое значение h сравнивается с табличным по заданному уровню значимости а. Если больше критического значения, то нулевая гипотеза об отсутствии автокорреляции ошибок отклоняется. При практических расчетах чаще всего а берется как 0,05 и если , то гипотеза об отсутствии автокорреляции остатков отвергается.

Из уравнения (7.15) следует, что /i-статистика не применима, если величина. Кроме того, данный критерий предназначен для больших выборок (например, для).

/і-статистика зависит от квадрата стандартной ошибки параметра только при лаговой зависимой переменной и не зависит от числа лагов, используемых в модели авторегрессии. Так, для модели оценка значимости автокорреляции остатков также проводится с помощью /г-статистики Дарбина.

Аналогично данный критерий используется и для модели авторегрессии с несколькими экзогенными переменными

В рассматриваемом примере автокорреляция остатков не устранена, о чем свидетельствует h-статистики Дарбина: коэффициент автокорреляции в остатках р составил 0,440; стандартная ошибка коэффициента регрессии при переменной оказалась равной 0,1635 (0,7946/4,86); соответственно V и при 3,4, что больше необходимого 1,96.

Автокорреляция в остатках по авторегрессионным моделям может быть устранена с помощью авторегрессионных преобразований с использованием моделей ARMA и ARIMA.

  • [1] Маленво Э. Указ. соч. С. 148.
 
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ     След >