Теорема декомпозиции Вольда

В 1938 г. Вольдом было доказано, что недетерминированный стационарный в широком смысле процесс может быть представлен как сумма двух процессов: детерминированного и стохастического процесса МА (q).

Применительно к процессам AR это означает, что любой стационарный авторегрессионный процесс порядка τ может быть представлен с помощью модели скользящего среднего бесконечного порядка.

Интересно, что процессы скользящего среднего обладают похожим свойством. Если корни характеристического уравнения скользящего среднего α(ζ) = 0 по модулю больше единицы, то выполняется так называемое условие обратимости. Условие обратимости математически представляет то же самое, что условие стационарности авторегрессионных процессов, однако используется в других целях. Если выполняется условие обратимости, то конечный процесс МА (q) может быть представлен в виде бесконечного процесса AR (оо).

Таким образом, в процессах скользящего среднего и авторегрессионных процессах есть что-то общее. Однако есть принципиальное отличие. Процесс МА (τ) всегда стационарен, условие обратимости просто обеспечивает его некоторым дополнительным полезным свойством. Для процесса AR (q) условие более жесткое: либо он стационарен и, следовательно, может быть представлен в виде скользящего среднего, либо он не стационарен.

Рассмотрим авторегрессионный процесс порядка р:

где

Математическое ожидание процесса yt равно

Автоковариационная и автокорреляционная функция может быть найдена путем решения системы уравнений Юла – Уолкера для процесса AR (р):

Для любого стационарного авторегрессионного процесса автокорреляционная функция будет уменьшаться по экспоненте. В дальнейшем мы будем использовать это свойство стационарных авторегрессионных функций.

Частная автокорреляционная функция

Как уже отмечалось ранее, частная автокорреляционная функция была введена с целью определения порядка авторегрессионного процесса. Дело в том, что в процессе скользящего среднего порядок модели достаточно просто определить, так как после него автокорреляционная функция резко стремится к нулю. Однако в авторегрессионном процессе все не так просто.

В этом случае на помощь приходит частная автокорреляционная функция, точно указывающая на порядок авторегрессионной модели. Частная автокорреляционная функция ткк определяет корреляцию между текущим и произошедшим к периодов назад наблюдением после удаления косвенного влияниянаблюдений. То есть τ44 измеряет корреляцию между yt и yt _ 4 без учета влияния , уt-3-го лага. Автокорреляционные функции для индекса FTSE представлены в табл. 8.1.

Очевидно, что для первого лага значения автокорреляционной и частной автокорреляционной функции совпадают: τι = τιι, поскольку отсутствует влияние промежуточных лагов, которое нивелировала бы частная автокорреляционная функция. Для второго лага частная автокорреляционная функция равна

где τ1 и τ2 – коэффициенты автокорреляции первого и второго порядка.

Таблица 8.1. График автокорреляционных функций по лагам для FTSE

Для лагов высших порядков формула будет более сложной для вычислений. Однако заметим, что в случае авторегрессионного процесса определенного порядка есть более простой способ определения корреляция между лагами, порядком меньшими порядка авторегресионного процесса.

Например, рассмотрим AR (4):

В модели представлено влияние на текущее значение параметра первых трех лагов рассматриваемого параметра. Следовательно, частная автокорреляционная функция принимает ненулевые значения для лагов, меньших порядка модели, и нулевые значения для лагов, больших порядка модели.

В случае стационарного ряда значения выборочной частной автокорреляционной функции определяются как МНК-оценка последнего коэффициента в регрессии AR (р).

Как говорилось ранее, при выполнении условия обратимости процесс скользящего среднего может быть представлен в виде авторегрессионного процесса. Следовательно, для скользящего среднего может быть использован аналогичный аппарат.

 
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ     След >