Модели ARCH и GARCH

Как правило, гетероскедастичность связывают с пространственными данными, а при анализе временных рядов априори полагают, что выполняется условие гомоскедастичности. Однако предположение о гомоскедастичности временных рядов не всегда обосновано. В своей работе Р. Энгл [Engle (1982)], анализируя макроэкономические данные, заметил, что нарушения постоянства дисперсии во временных рядах случаются чаще, чем принято считать. Это связано с тем, что в некоторых временных рядах существует склонность к кластеризации отклонений от средних значений. Большие и малые отклонения как бы чередуются с течением времени.

Для анализа подобных рядов Энгл предложил пользоваться формой гетероскедастичности, при которой последующие значения отклонений будут зависеть от величин предыдущих. Подобный подход автор назвал моделью ARCH (моделью условной авторегрессионной гетероскедастичности). В дальнейшем эта модель была проверена и опробована исследователями. Так, Н. Колсон и Р. Робинс [Coulson, Robins (1985)] использовали эту модель для изучения инфляции; Р. Энгл, Д. Хендри, Д. Трамбал [Engle, Hendry, Trumbull (1985)] при помощи ARCH-модели исследовали структуру процентных ставок; Р. Энгл, Д. Лильен, Р. Робинс [Engle, Lilien, Robins (1987)] исследовали изменения рыночных доходностей; поведение обменных курсов исследовалось Я. Домовитцом, К. Хаккио [Domowitz, Hakkio (1985)].

Модель ARCH

В моделях типа ARCH используемые ряды предполагаются стационарными. Простейшая форма модели ARCH, модель ARCH, (1) выглядит следующим образом:

где щ распределены по стандартному нормальному распределению. Следовательно,, поэтому. То есть в контексте данной модели случайные остатки не зависят от значений факторов, входящих в модель регрессии.

Эта модель является классической регрессионной моделью. Однако

Таким образом, ε, – условная гетероскедастичность по отношению к. Безусловной дисперсией ε, будет

В случае если "возмущения" в процессе проходят слабо стационарно, то безусловная дисперсия не меняется со временем и определяется по формуле

Это отношение будет конечным И положительным, если |a1| будет меньше единицы. Тогда ε, будет распределено с нулевым средним и дисперсией

Вместо of в литературе часто используют ht. В таком случае модель ARCH (1) будет выглядеть следующим образом:

где

Как было показано выше, модель ARCH удовлетворяет классическим предположениям и обыкновенный метод наименьших квадратов дает лучшую линейную несмещенную оценку параметра β.

Однако может существовать лучшая нелинейная оценка. Логарифмическая функция правдоподобия для этой модели была задана Энглом:

(8.14)

Если расширить простейшую модель условной гетероскедастичности до τ лагов, получим модель ARCH (τ):

(8.15)

Существует другой способ описания стандартной модели ARCH. Для примера используем модель ARCH (1):

где

Несмотря на то, что на первый взгляд два представленных способа описания модели ARCH отличаются, можно показать, что это одно и то же. В самом деле, если v, подчиняется нормальному распределению с нулевым средним и единичной дисперсией, то и, также будет подчиняться нормальному распределению с нулевым средним и дисперсией а2.

Позднее P. Энглом, Д. Лильеном и Д. Робинсом [Engle, Lilien, Robins (1987)] была предложена модификация стандартной модели ARCH – модель ARCH-M:

(8.16)

Одной интересной особенностью модифицированной модели является то, что при выполнении основных предположений коэффициент 6 может трактоваться как коэффициент относительной склонности к риску.

Вскоре после своего появления модели ARCH-M были опробованы в ряде исследований. Так, например К. Френч с соавторами [French, Schwert, Stambaugh (1987)] использовали модели для изучения колебаний Standart and Poor's Index; P. Чоу [Chou (1988)] опробовал модель при изучении доходностей Нью-Йоркской фондовой биржи.

Модель ARCH-M имеет несколько заслуживающих внимания статистических особенностей. В отличие от стандартной регрессионной модели ошибка спецификации дисперсионной функции оказывает влияние на состоятельность оценки параметров среднего. Напомним, что в классической регрессионной установке взвешенный метод наименьших квадратов дает состоятельную оценку до тех пор, пока веса не коррелируют с возмущениями. В этой модели все будет по-другому. Если в ARCH-части модели была сделана ошибка спецификации, то оценки β и δ не будут состоятельны. Т. Боллерслев, Р. Чоу и К. Кронер [Bollerslev, Chou, Kroner (1992)] привели ряд исследований, в которых решался вопрос спецификации модели ARCH-M, и после переспецификации моделей ими были получены абсолютно другие результаты.

 
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ     След >