МНК-оценки с фиктивными переменными

Рассмотрим модель с фиксированными эффектами =. Для і'-го индивида можно записать следующее уравнение в матричной форме:

(9.27)

где іт– единичный вектор размерностью T.

Если объединить данные по всем индивидам, то получим уравнение

(9.28)

Уравнение (9.28) можно также переписать в более простой форме

(9.29)

где матрица DN состоит из N индивидуальных фиктивных переменных, и ее можно представить через произведение Кронекера[1] – единичная матрица порядка N, в которой все диагональные элементы равны единице, а все недиагональные элементы равны нулю.

Можно убедиться, что матрица DN обладает следующими свойствами.

В этой модели помимо того, что ошибки являются независимыми одинаково распределенными величинами с нулевым математическим ожиданием и постоянной дисперсией, делается предположение о том, что объясняющие переменные не зависят от ошибок. Пусть Z = [DNX] – матрица размером NT × (N + К), которая содержит все объясняющие переменные, включая N фиктивных переменных, и эта матрица должна иметь полный столбцевой ранг. Получается, что NT должно быть больше, чем (N + К), а это выполняется в случае с большим N и любым Т > 2. Кроме того, столбцы X должны быть линейно независимы от DN. Это соответствует случаю, когда в матрице Xt нет константы, а также какого-либо другого столбца, пропорционального константе, что в итоге исключает из регрессии любые переменные, которые являются постоянными во времени для конкретного индивида, но могут различаться между индивидами.

При выполнении описанных выше предположений МНК-оценки всех регрессионных коэффициентов в модели & будут лучшими линейными несмещенными оценками. Оценивание этой модели методом наименьших квадратов приносит МНК-оценки с фиктивными переменными, или LSDV-оценки (least squares dummy variables estimators). Соберем все регрессионные коэффициенты в вектор ,

тогда МНК-оценки будут иметь вид . Для нахождения оценки γ необходима обратимость матрицы Ζ'Ζ размером (Ν + Κ)χ(Ν + К). Однако при большом количестве коэффициентов получается слишком много регрессоров, и это вызывает определенные трудности, связанные с обратимостью матрицы регрессоров размерностью (Ν + Κ)χ(Ν + К). Применив преобразования матричной алгебры, можно сократить задачу до обратимости матрицы К х К. Оценка β-коэффициентов в этой модели оказывается равной внутригрупповой оценке. Это случай так называемой теоремы ФришаВо (FrischWaugh) для регрессии подмножества. В результате МНК-оценки с фиктивными переменными определяются по формулам

(9.30)

(9.31)

Где является идемпотентной[2] матрицей порядка NT, которая имеет ранг N(T-1). Матрица WN также называется within-проектором, так как проектор WN позволяет осуществить внутригрупповое преобразование и вычислить отклонения от индивидуальных средних значений .

Сумма квадратов ошибок и дисперсия ошибок в модели с фиксированными эффектами будут соответственно иметь вид

(9.32)

матрица WN будет идемпотентной в том случае, когда выполняется условие

(9.33)

Дисперсии оценок коэффициентов β и а в модели с фиксированными эффектами будут соответственно определяться по формулам

(9.34)

(9.35)

Оценки, заданные уравнениями (9.30) и (9.32), также могут быть получены методом наименьших квадратов из трансформированной модели

(9.36)

где

Преобразование является очень простым: трансформированные переменные – это просто первоначальные переменные, выраженные как отклонения от индивидуальных средних. Поэтому i-e уравнение, соответствующее регрессии (9.36), будет иметь вид

Уравнение регрессии (9.37) представляет собой не что иное, как внутригрупповую модель (9.8). Выходит, что МНК-оценки с фиктивными переменными совпадают с внутригрупповыми оценками а; и β-коэффициентов или оценками с фиксированными эффектами

(9.38)

(9.39)

Дисперсия оценки ά; в преобразованной модели может быть получена из уравнения (9.35) и будет иметь вид

(9.40)

При работе с преобразованными переменными необходимо помнить, что истинное число степеней свободы будет не (NT-К), a (NT-N-К), так как при преобразовании вычисляются N индивидуальных средних и в результате теряется N степеней свободы. Следовательно, необходимо обращать внимание на дисперсию, вычисляемую при применении компьютерной программой к преобразованным данным, и корректировать ее соответствующим образом.

Для коротких панелей очевидна потенциальная проблема, состоящая в том, что не гарантирована состоятельность оценок риа, если имеется (N + к) параметров, которые необходимо оценить, и N стремится к бесконечности. Тем не менее, состоятельные оценки β-коэффициентов возможны даже в том случае, если индивидуальные коэффициенты оценены несостоятельно и пока вдобавок Т не будет стремиться к бесконечности.

  • [1] Произведением Кронекера матрициназывается матрица размером, имеющая вид
  • [2] матрица WN будет идемпотентной в том случае, когда выполняется условие WNW'N = WN
 
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ     След >