Оценка условным методом максимального правдоподобия

Оценка условным методом максимального правдоподобия, или условная ML-оценка (conditional ML estimator), максимизирует совместное правдоподобие уп, ..., упТ, условное по индивидуальным средним у1г..., ут. Этот метод привлекателен тем, что при выполнении условия нормальности, в линейных панельных моделях исключаются фиксированные эффекты а;, и в результате происходит максимизация функции условного правдоподобия только относительно параметра β.

Предположим, что уit, условное по регрессорам хк, и параметры α;, β и σ2 являются одинаково распределенными величинами с нормальным распределением N[a,• +x'(t,a2]. Тогда функция условного правдоподобия будет иметь вид

(9.41)

Первое равенство определяет условное правдоподобие при предположении о независимости по і. Второе равенство всегда соблюдается, так как = поскольку у – это функция от уj, ут. Третье равенство получается после осуществления алгебраических преобразований при предположении о нормальном распределении. В последнем равенстве уже отсутствуют фиксированные эффекты а, функция условного правдоподобия на самом деле является функцией, и логарифм функции правдоподобия будет максимизироваться только по отношению к β и σ2.

Условная ML-оценка (3CML определяется на основе условия первого порядка

(9.42)

Если произвести перегруппировку данных, то получим уравнение

(9.43)

Уравнение (9.43) есть не что иное, как условие первого порядка для МНК регрессиина, и поэто

му условная ML-оценка рсж равна внутригрупповой оценке β"Η•ντρ. Условная ML-оценка ()Ш1 является состоятельной оценкой β-коэффициентов в модели с фиксированными эффектами (9.7).

МНК-оценки модели первых разностей

Если из модели с фиксированными эффектами (9.7) вычесть модель с фиксированными эффектами с лагом на один период то получим модель первых разностей (first-differences model)

(9.44)

Модель первых разностей в отличие первоначальной модели (9.7) уже не содержит фиксированные эффекты а,•. Следует обратить внимание на то, что в уравнении (9.44) используется только N(T-1) наблюдений.

Оценка первых разностей (first-differences estimator) представляет собой МНК-оценку β-коэффициентов в модели (9.44):

(9.45)

Оценка первых разностей использует специальные характеристики панельных данных. В короткой панели оценка первых разностей измеряет связь между индивидуальными изменениями в регрессорах за один период времени и индивидуальными изменениями в зависимой переменной за тот же период времени. Оценка первых разностей, так же как и внутригрупповая оценка, не позволяет оценить коэффициенты постоянных во времени регрессоров для каждого индивида в модели с фиксированными эффектами. Для Т = 2 оценка первых разностей совпадает с внутригрупповой оценкой, так как то , и аналогично для X, но для Т >2 эти оценки не совпадают. При предположении о том, что ошибки ги являются независимыми одинаково распределенными величинами, можно показать, что оценка обобщенным методом наименьших квадратов модели первых разностей (9.44) равна внутригрупповой оценке.

Оценка первых разностей является состоятельной оценкой [(-коэффициентов в модели с фиксированными эффектами. Оценка первых разностей будет состоятельной, если . Это условие является более строгим, чем, и менее слабым, чем строгое экзогенное условие, необходимое для состоятельности внутригрупповой оценки. Однако оценка первых разностей менее эффективна, чем внутригрупповая оценка для случая Т > 2 при условии, что ошибки си являются независимыми, одинаково распределенными величинами с нулевым математическим ожиданием и дисперсией σ;?.

 
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ     След >