Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Финансы arrow Корпоративные финансы

Дюрация облигации и иммунизация портфеля

Дюрация облигации является одним из важнейших аналитических показателей для облигации. В 1938 г. концепцию дюрации предложил Ф. Маколей[1]. Однако, как это нередко бывает в мире финансовой науки, в то время она не получила признания и нс применялась на практике. Несколько лет спустя к схожим выводам пришли сначала Дж. Хикс (в 1939 г.), потом П. Самуэльсон (в 1945 г.) и, наконец, Ф.Редингтон (в 1952 г.).

Лишь в 1970-х гг. возник практический интерес к дюрации как к инструменту, с помощью которого можно провести иммунизацию портфеля облигаций от риска изменения процентных ставок. Кроме того, было доказано, что дюрацию следует рассматривать как меру измерения ценового риска для облигаций.

Дюрация облигации и ее виды

Рассмотрим функцию рыночной стоимости облигации от параметров облигации, причем денежные поступления по облигации в период t запишем как :

(3.11)

Поскольку в формуле (3.11) все CFt известны согласно проспекту эмиссии и не могут меняться, то фактически она является функцией одной переменной, т.е. . А это означает, что можно получить значение изменения стоимости облигации в зависимости от изменения ее доходности к погашению.

Так как функция (3.11) является непрерывной и дифференцируемой, то можно разложить ее в ряд Тейлора, который, как известно, позволяет представить любую функцию в окрестности точки х = а в виде суммы степенных функций:

(3.12)

Возьмем первую производную функции (3.11):

(3.13)

Во-первых, первая производная оказывается отрицательной, значит, стоимость облигации уменьшается при увеличении ставки дисконтирования, и наоборот. Во-вторых, множительназывается рублевой (в общем виде денежной) дюрацией, которая показывает, насколько рублей изменится стоимость облигации при изменении ставки дисконтирования на один процентный пункт.

Однако денежная дюрация подвержена эффекту масштаба, что делает ее малопригодной для сравнения бумаг разного номинала. Поэтому обычно рассчитывают дюрацию, деленную на первоначальную цену (модифицированную дюрацию, ), т.е. фактически считают эластичность, показывающую, на сколько процентов изменится цена облигации при изменении доходности к погашению на один процентный пункт.

Поскольку первый член ряда Тейлора Ф. Маколей первым предложил использовать в качестве измерителя риска, то определенная им дюрация названа его именем – дюрация Маколея ():

(3.14)

Дюрация Маколея показывает среднее число лет, необходимое для того, чтобы первоначальные инвестиции окупились.

Обычно дюрация определяется как средневзвешенный срок потока платежей, взвешенный по дисконтированной сумме. Такое определение без знания формулы (3.14) сложно для понимания, однако, внимательно посмотрев на нее, можно заметить, что , по сути, и есть время платежа, которое умножается на его вес в общей сумме (дробь), давая, таким образом, средневзвешенное значение.

Дюрация облигаций, помимо показателя, необходимого для расчета эластичности цены облигации по ее доходности к погашению, может служить мерой риска облигации (точнее, ее эмитента). Чем меньше дюрация, тем быстрее возвращаются инвестированные деньги, тем быстрее их можно вновь инвестировать. Кроме того, чем быстрее вложенные денежные средства получены, тем больше определенности возникает при использовании и оценке их покупательной способности.

Пример 3.11. Облигация государства номиналом 100 ден. ед. погашается ровно через три года. Предположим, что купонная ставка по облигации равна 8,5% от номинала, а доходность к погашению сейчас по биржевым котировкам равна 4,2% годовых. Рассчитайте денежную дюрацию, дюрацию Маколея, модифицированную дюрацию.

Решение

Текущая цена облигации равна . Рассчитываем денежную дюрацию:

Далее рассчитываем дюрацию модифицированную, для этого можно либо денежную дюрацию поделить на текущую рыночную цену: либо рассчитать непосредственно по определению:

Дюрацию Маколея можно найти также двумя способами: или, следуя определению,

На самом деле дюрация позволяет найти новую цену облигации, используя лишь линейную часть приращения, но этого не всегда бывает доста-

точно, чтобы дать хорошее приближение, поэтому наряду с дюрацией еще используют выпуклость.

Возьмем вторую производную функции (3.11):

(3.15)

Такой показатель носит название рублевой (денежной) выпуклости, и он также подвержен эффекту масштаба, что существенно сужает возможности его применения, поэтому чаще рассчитывают модифицированную выпуклость:

(3.16)

В целом общее изменение цены облигации описывается уравнением

(3.17)

Уравнение (3.17) содержит только два первых члена ряда Тейлора, все остальные члены ряда Тейлора собраны в слагаемом ε, однако значение ε обычно настолько мало, что им просто пренебрегают.

Пример 3.12. Только что выпущенная купонная облигация будет погашена через пять лет. Номинал облигации равен 100 руб., а купонная ставка составляет 7%. Купоны выплачиваются но полугодиям. В настоящее время облигация торгуется по номиналу. Определите модифицированную дюрацию и выпуклость облигации. Также определите, какова будет цена облигации (нужен точный расчет), если процентные ставки немедленно вырастут до 8% годовых. Рассчитайте будущую цену облигации: 1) с помощью только дюрации; 2) с помощью дюрации и выпуклости.

Решение

Поскольку текущая цена равна номиналу, то расчеты существенно упрощаются, кроме того, это означает, что текущая доходность к погашению облигации равна ее купонной ставки и составляет 7%. Расчеты будем проводить в полугодиях (табл. 3.5).

Таблица 3.5

К примеру 3.12

t, полугодия

CFt

DCF,

1

3,5

3,3816425

0,033816

0,067632850

2

3,5

3,2672875

0,065346

0,196037247

3

3,5

3,1567995

0,094704

0,378815936

4

3,5

3,0500478

0,122002

0,610009559

5

3,5

2,9469061

0,147345

0,884071825

6

3,5

2,8472523

0,170835

1,195845947

7

3,5

2,7509684

0,192568

1,540542283

8

3,5

2,6579404

0,212635

1,913717122

9

3,5

2,5680584

0,231125

2,311252562

10

103,5

73,3730972

7,337310

80,710406940

8,607686

89,808332271

Теперь находим модифицированную дюрацию: полугодий. Выпуклость в полугодиях равна

Будущая цена облигации, найденная с помощью дюрации, равна

будущая цена облигации, найденная с помощью дюрации и выпуклости, равна

Проиллюстрируем данный пример с помощью рис. 3.7. Кривая CAD показывает реальную зависимость цены облигации от ее доходности к погашению. По оси абсцисс отложена доходность к погашению, а по оси ординат – цена облигации. Очевидно, что зависимость не является линейной. Допустим, что рыночная ситуация соответствует точке А, когда цена облигации равна , а ее доходность к погашению равна / Допустим, что аналитики прогнозируют понижение доходности к погашению до уровня . Согласно имеющейся зависимости цена облигации должна увеличиться до . Линия ВАЕ является касательной к линии CAD в точке А (график касательной, определяемой первой производной или дюрацией). Используя только дюрацию, мы в состоянии определить увеличение цены облигации до , что соответствует точке В. Поскольку с помощью дюрации учитывается только линейная часть приращения, длина отрезка ВС есть общее влияние всех нелинейных факторов, которое мы можем учитывать через выпуклость (вторую производную). Практика показывает, что этого вполне достаточно, чтобы получить оценку изменения с точностью до копеек (одной сотой денежной единицы).

Геометрическая интерпретация расчета новой цены облигации

Рис. 3.7. Геометрическая интерпретация расчета новой цены облигации

Очевидно, что чем меньше изменение в доходности к погашению, тем более точной будет оценка посредством дюрации и выпуклости.

Однако основное применение дюрации заключается в построении с ее помощью портфеля облигаций, который не подвержен изменению в стоимости при изменении процентных ставок, точнее, при параллельном сдвиге кривой доходности.

И в заключение приведем несколько правил относительно дюрации, которыми можно пользоваться при расчетах модифицированной дюрации.

Правило 1. Дюрация бескупонной облигации равна сроку до ее погашения.

Правило 2. Если срок до погашения постоянен, то дюрация облигации тем выше, чем ниже ее купонная ставка.

Правило 3. Если купонная ставка постоянна, то дюрация облигации увеличивается по мере роста срока до ее погашения.

Правило 4. При прочих равных условиях дюрация купонной облигации тем выше, чем меньше ее доходность до погашения.

Правило 5. Дюрация бесконечного потока постоянных платежей равна

Правило 6. Дюрация постоянных платежей на период Т лет (аннуитетов) равна

Правило 7. Дюрация купонной облигации равна (с – размер купонной ставки от номинала)

Правило 8. Дюрация купонной облигации, продающейся по номиналу, равна

  • [1] Macaulay F. Some theoretical problems suggested by the movements of interest rates, bond yields, and stock prices in the United States since 1856. N. Y.: National Bureau of Economic Research, 1938.
 
Если Вы заметили ошибку в тексте выделите слово и нажмите Shift + Enter
< Предыдущая   СОДЕРЖАНИЕ   Следующая >
 

Популярные страницы