Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Финансы arrow Корпоративные финансы

Доходность и риск портфеля активов

Инвестиционным портфелем (investment portfolio) называется совокупность реальных или финансовых вложений инвестора (частного лица или компании). Однако в разговорной речи часто говорят просто "портфель", мы также будем говорить "портфель", имея в виду инвестиционный портфель.

Как уже было показано, цена и доходность отдельного актива зависят от того, какой сценарий развития события реализовался. А как рассчитать цену и доходность портфеля активов? Допустим, что инвестор вложил 1000 руб. в акции (стал владельцем инвестиционного портфеля), точнее, вложил 400 руб. в акции А, а 600 руб. – в акции Б. Акции А через период подорожали на 10% (rА = 0,1), а акции Б подорожали на 6% (rБ = 0,06). Стоимость портфеля инвестора выросла на 76 руб. (40 руб. от акций А и 36 руб. от акций Б), составив портфель

Таким образом, доходность портфеля составила 7,6%:

или в буквенных обозначениях где – вес i-го актива.

Следовательно, для каждого реализованного сценария доходность портфеля равна средневзвешенной доходности каждого из активов, входящих в портфель, где вес актива определяется как отношение денег, затраченных на покупку актива, к общей сумме собственных средств, на которые были приобретены все активы портфеля.

Измерение риска и доходности портфеля из двух активов

Начнем с определения ожидаемой доходности портфеля. Известно, что доходность любого портфеля в любом i-м состоянии мира описывается формулой

(5.4а)

Ожидаемая доходность актива рассчитывается как математическое ожидание его доходности:

(5.4б)

где – вероятность наступления г-го состояния мира.

Подставляя выражение (5.4а) в формулу (5.46), получаем следующее:

Соответственно, ожидаемая доходность портфеля из п активов будет равна средневзвешенной из ожидаемых доходностей активов, входящих в состав этого портфеля:

(5.4в)

Статистическое определение дисперсии портфеля описывается равенством

(5.5)

Подставив в формулу (5.5) равенства (5.4а) и (5.4в), получаем:

В результате можно заметить, что множители в первых двух слагаемых, стоящие под знаком суммы, представляют собой дисперсии отдельных активов, а множитель в третьем слагаемом под знаком суммы – их ковариацию. Таким образом, для портфеля из двух активов формула дисперсии портфеля примет вид

(5.6)

☻Свойства ковариации

Пусть А, В, С – случайные величины, ω – константа, тогда выполняются следующие равенства:

Последнее свойство – по сути иная формула расчета ковариации, когда величины выборки равновероятны, что как раз характерно для биржевой информации.

Для портфеля из п активов формула (5.6) упрощается до вида

(5.7)

Для п активов можно составить ковариационную матрицу

(5.8)

Ковариационная матрица (5.8) обладает следующими свойствами:

  • • на главной диагонали матрицы находятся дисперсии активов (свойство 5 ковариации);
  • • матрица симметрична (свойство 1 ковариации) относительно главной диагонали, т.е. для того, чтобы полностью найти ковариационную матрицу, достаточно оценить только показателей, а не .

Если к ковариационной матрице (5.8) добавить строку и столбец с весами соответствующих активов в портфеле, то получится расширенная ковариационная матрица:

(5.9)

В итоге формула (5.7) становится понятной: необходимо просуммировать все произведения, представляющие собой элемент ковариационной матрицы (5.9), умноженный на веса соответствующей строки и столбца матрицы (5.9).

Рассмотрим два актива со следующими характеристиками: актив А с ожидаемой доходностью 10% и стандартным отклонением 5% и актив В с ожидаемой доходностью 4% и стандартным отклонением 10%. Сформируем из этих активов портфель, параметры которого будут удовлетворять следующей системе при п = 2:

(5.10)

Выразим из первого уравнения системы (5.10), например, и подставим это выражение во второе и третье уравнения этой же системы. Для случая двух активов в результате получатся уравнения (5.10а) и (5.106):

(5.10а)

(5.106)

Выразив из (5.106) и подставив полученное выражение в (5.10а), получим в явном виде зависимость от или от .

На рис. 5.5 приведен эскиз подобной зависимости для рассматриваемых активов А и в. На рисунке точками А и В отмечены чистые активы, т.е. когда портфель полностью состоит из одного актива.

Таблица 5.1

Расчет параметров гипотетических портфелей

Портфель

С

1,5

-0,5

13

81

9

А

1

0

10

25

5

Е

0,75

0,25

8,5

20,25

4,5

В

0

1

5

100

10

D

-0,5

1,5

1

231,04

15,2

При формировании портфеля из активов возможны две ситуации: формирование ведется только на собственные деньги или с помощью коротких продаж и собственных денег. Так, на рис. 5.5 на участке АВ находятся портфели, сформированные только на собственные деньги, на участке BD и ниже находятся портфели, сформированные с помощью короткой продажи актива А, а па участке АС и выше находятся портфели, сформированные с помощью короткой продажи актива В.

Продажей без покрытия или короткой продажей (short selling) называется продажа ценных бумаг, товаров или валюты, которыми торговец на момент продажи нс владеет. Такая сделка возможна, но только если условия контракта предусматривают его исполнение через некоторое время. Этот механизм обеспечивает возможность получать прибыль при снижении цены на проданный "вкороткую" актив.

Например, аналитики компании ожидают, что обыкновенные акции компании А подешевеют в течение недели с нынешних 100 руб. за акцию до 75 руб. Тогда выгодно заключить контракт на продажу акций компании А по существующей сейчас цене, но с поставкой акций через неделю или более. Если цена акций действительно упадет, то, купив акции (сделка с немедленной поставкой) после падения цены по 75 руб. за штуку, получаем прибыль в размере 100 – 75 = 25 руб. с одной акции, закрывая первую сделку за счет приобретенных акций по второй сделке. Однако операция короткой продажи жестко регулируется в части активов, которые можно продавать по этой схеме, а также в части участников рынка, которым эти операции доступны.

Допустимое множество для случая двух активов

Рис. 5.5. Допустимое множество для случая двух активов

Власти США запретили короткие продажи акций почти 800 компаний 19 сентября 2008 г.

Комиссия по ценным бумагам и биржам США (SEC) по согласованию с Управлением финансового надзора Великобритании временно запретила короткие продажи акций 799 финансовых компаний для стабилизации рыночной ситуации.

Об этом говорится в опубликованном 19 сентября заявлении SEC. По мнению комиссии, эти меры помогут восстановить равновесие на фондовых рынках.

Предписание комиссии вступает в силу с момента публикации и будет действовать до 23:59 по восточному времени (8:59 мск) 2 октября 2008 г. При этом запрет в случае необходимости может быть продлен на срок от 10 до 30 календарных дней.

Накануне продажи акций без покрытия также запретил Банк Англии. Запрет будет действовать до конца 2008 г.

Короткая продажа предполагает продажу акций, взятых взаймы у брокера, в расчете на падение стоимости бумаг. В случае успеха инвестор возвращает брокеру акции, выкупленные по более низкой цене, обеспечивая себе прибыль на курсовой разнице. По мнению некоторых наблюдателей, короткая продажа оказывает существенное давление на акции, которые и без того не пользуются доверием инвесторов.

В частности, ряд британских политиков обвинили биржевых спекулянтов в обрушении котировок банка HBOS Pic. После этого появилось сообщение о том, что пятый по величине банк в Великобритании Lloyds TSB договорился о покупке HBOS за 15,4 млрд евро.

Источник: top.rbc.ru/economics/19/09/2008/246906.sluml.

С точки зрения математики отсутствие коротких продаж при формировании портфеля означает, что веса любого актива в составе портфеля неотрицательны, т.е. wi 0. Если же короткие продажи возможны, то веса могут быть любыми, в том числе и отрицательными. Отрицательный вес означает продажу данного актива "вкороткую".

Диверсификацией (diversification) применительно к портфельной теории называется уменьшение риска путем формирования портфеля активов или, что то же самое, распределение средств в несколько разных активов. Наиболее точно смысл диверсификации передает пословица "Не кладите все яйца в одну корзину".

Пример 5.2. Предположим, па рынке есть п ценных бумаг с одинаковой доходностью средняя дисперсия доходности отдельной ценной бумаги равна 50, т.е. , а средняя ковариация между доходностями любых двух бумаг равна 10, т.е.10. Какова средняя дисперсия доходности портфеля, составленного из 5, 10, 20, 50 и 100 ценных бумаг? Сколько ценных бумаг требуется ввести в портфель, чтобы его риск в среднем оказался не более чем на 10% больше минимально возможной величины?

Решение

Рассмотрим формулу (5.7), переписав ее в виде двух слагаемых – главной диагонали и все, что не лежит на главной диагонали ковариационной матрицы:

Если доля каждого из п активов будет одинакова в составе портфеля, т.е., то будет наблюдаться наибольший эффект от диверсификации (доказательство этого факта не приводится, чтобы не перегружать материал главы). Поскольку и ковариация доходностей двух любых активов одинакова, и дисперсия их также одинакова, но при этом мы еще и знаем, чему они равны, то, подставляя в формулу дисперсии портфеля имеющуюся информацию, получаем:

или после упрощения

Теперь находим ответы на вопросы задачи:

Обратим внимание, что при данных условиях минимальная возможная дисперсия доходности портфеля равна средней ковариации на рынке между доходностями двух активов:

Соответственно, минимальное стандартное отклонение

Поскольку для ответа на вопрос, сколько ценных бумаг требуется ввести в портфель, чтобы его риск оказался не более чем на 10% выше минимальной возможной величины, непонятно, что подразумевается под риском: дисперсия или стандартное отклонение, то рассчитаем оба варианта. Пусть – минимальное число ценных бумаг в портфеле, тогда

для риска, представленного в виде дисперсии, и

для риска, представленного в виде стандартного отклонения. Подставляя данные задачи и решая соответствующие неравенства, получаем:

Таким образом, для создания портфеля с указанными свойствами необходимо либо 20, либо 40 ценных бумаг. Этот пример демонстрирует, насколько важным оказывается вопрос измерения риска в портфельной теории, да и в финансовых расчетах в целом.

Распределяя денежные средства между различными активами разных классов, отраслей и т.д., инвестор может существенно сократить свои риски. Рассмотрим диверсификацию применительно к портфелю из двух активов (рис. 5.6).

Портфели и распределения их доходности

Рис. 5.6. Портфели и распределения их доходности

С точки зрения функции плотности симметричного распределения чем больше риск актива, тем сильнее функция плотности будет "распластана" вокруг своего среднего значения. На рис. 5.6 представлены функции плотности для произвольных портфелей D, E, С. При переходе от портфеля D к Е среднее значение доходности портфеля растет (для портфеля D среднее значение было 1 %, а для портфеля Е среднее значение уже равно 7%), при этом мы видим, что функция плотности в большей степени концентрируется вокруг среднего значения, так как она сильнее вытянута в районе среднего значения. При движении от портфеля Е к портфелю С среднее значение растет (с 7 до 13%), но при этом растет и риск, а функция плотности становится более растянутой вдоль горизонтальной оси.

Если рассматривать диверсификацию не с позиции распределения, то диверсификация – это возможность инвестора попасть в область левее прямой, являющейся перпендикуляром к горизонтальной оси из точки, соответствующей чистому активу с меньшей дисперсией. На рис. 5.6 это возможность попасть левее перпендикуляра, опущенного из точки А (в этой области находится портфель Е).

От чего зависит степень диверсификации портфеля? Для ответа на этот вопрос перепишем формулу (5.106) в следующем виде (с учетом свойства 6 ковариации):

(5.11)

Как очевидно, дисперсия портфеля зависит от веса актива А в портфеле и от корреляции между доходностями активов А и В, так как все остальные переменные в выражении (5.11) определены. Но если вес актива А влияет на положение портфеля на кривой CD (рис. 5.7), то корреляция между доходностями активов отвечает за степень диверсификации портфеля.

Допустимые множества и диверсификация риска

Рис. 5.7. Допустимые множества и диверсификация риска

Если предположить абсолютную положительную корреляцию между доходностями активов A и В, то выражение (5.11) можно переписать в виде

(5.12а)

Из формулы (5.10а) выразим , получим

(5.12б)

Выразив из выражения (5.12а) и подставив в формулу (5.12б), получим следующее уравнение:

(5.13)

Таким образом, ясно, что все портфели в этом случае лежат на прямой вида . Эта прямая пересекает ось доходности в точке F, которая имеет положительную доходность и нулевой риск. Мечта всех инвесторов – оказаться в точке F или очень близко к ней, однако чтобы это было возможно, требуются абсолютная положительная корреляция между двумя активами и возможность коротких продаж.

Если предположить абсолютную отрицательную корреляцию между доходностями активов А и В , то формулу (5.11) можно переписать в виде

(5.14)

В этом случае все портфели будут лежать на ломаной прямой, проходящей через точки В, G и A. В точке G находится портфель, доходность которого положительна, а риск нулевой. При этом для его получения требуется лишь абсолютная отрицательная корреляция, короткой продажи не требуется, так как этот портфель формируется только за счет собственных средств ().

Если предположить корреляцию между доходностями активов А и В, которая удовлетворят двойному неравенству , то допустимое множество уже не будет выглядеть как прямая. Оно будет представлять собой участок кривой только между точками А и В, если короткие продажи запрещены, и кривую, проходящую через точки С, D и Е, если короткие продажи разрешены и неограниченны. На рис. 5.7 нарисована кривая для случая некоррелированных активов, т.е. когда

Факт, огорчающий инвесторов, состоит в том, что в среднем корреляция между любой парой активов одного класса риска (акции, облигации) обычно колеблется на рынках от 0,3 до 0,6. Это не позволяет инвесторам рассчитывать на формирование портфелей из рисковых активов не только в точках Fи G, но и даже вблизи них. Более того, можно доказать математически, что эффект от диверсификации в случае двух активов будет наблюдаться, только если корреляция между их доходностями будет меньше, чем минимум из отношений их стандартных отклонений. Другими словами, если , то будет наблюдаться эффект диверсификации, в противном случае этого эффекта не будет.

 
Если Вы заметили ошибку в тексте выделите слово и нажмите Shift + Enter
< Предыдущая   СОДЕРЖАНИЕ   Следующая >
 

Популярные страницы