Измерение риска и доходности портфеля из n активов

Все вышеизложенные рассуждения останутся верны, если активов для создания портфеля будет не два, а больше. Более того, внимательный читатель уже заметил, что в предыдущем параграфе все необходимые формулы для портфеля из двух активов выводились из формул для портфеля из п активов. Для расчета параметров портфеля, состоящего из п активов, используют формулы (5.4в) и (5.7).

Построим возможные портфели из четырех активов, корреляция между доходностями которых равна нулю, а остальные параметры следующие.

Актив

Ε(η), %

О/

А

10

9

X

7

8,5

G

5

10

С

3

6

Нанесем на рис. 5.8 координаты сформированных портфелей.

Допустимое множество для п активов

Рис. 5.8. Допустимое множество для п активов

На рис. 5.8 видно, что принцип формирования портфелей не поменялся – между любыми двумя рисковыми активами можно сформировать портфель. Например, портфель Z состоит только из активов А и X, а портфель М может быть составлен из чистого актива G и портфеля Z. Портфель М может быть использован для формирования новых портфелей, например портфеля, J. Таким образом, допустимое множество портфелей будет представлять собой уже не линию (как для двух активов), а некую область, напоминающую но своей форме осьминога или летящую нулю с воздушными завихрениями вокруг нее (закрашенная область на рис. 5.8). Чистые активы могут располагаться где угодно: как в узлах фигуры (например, точки А, X, G, С), так и внутри области (например, точка М могла бы быть также отдельным активом).

Впрочем, инвестору не интересны все возможные (допустимые) портфели, некоторые из них он никогда не выберет. Различают два понятия.

Допустимое множество (feasible set) – множество портфелей, которые могут быть сформированы из начального набора активов.

Эффективное множество (effective set) – множество портфелей, которые при заданной доходности обладают наименьшим риском или при заданном риске обладают наибольшей доходностью. Часто это множество

также называют множеством минимальной дисперсии (minimum variance set, MVS), подчеркивая, что все портфели из этого множества для заданной доходности имеют минимально возможный риск. Эффективное множество является подмножеством допустимого множества.

Только эффективные портфели будут выбираться инвестором. Например, портфель М никогда не будет выбран инвестором, так как у него такой же риск, как и у портфеля V, но меньше доходность. Также у портфеля М одинаковая доходность с портфелем В, но у портфеля В меньше риск. Инвестор, избегающий риска, будет предпочитать портфели V и В портфелю М.

Свойства эффективного множества портфелей для случая, когда короткие продажи разрешены

Свойство 1. Эффективное множество имеет гиперболическую форму в координатах "доходность – стандартное отклонение" и параболическую форму в координатах "доходность дисперсия".

Свойство 2. Все акции имеют ненулевые веса в большинстве портфелей эффективного множества.

Свойство 3. Комбинация двух и более портфелей, принадлежащих эффективному множеству, есть портфель, принадлежащий эффективному множеству.

Свойство 4. Если существует безрисковый актив, который можно покупать и продавать, то можно отделить проблему выбора структуры рискового портфеля от проблемы выбора количества принимаемого риска.

Свойство 5. Для генеральной совокупности активов взаимосвязь между коэффициентами "бета" активов (понятие коэффициента "бета" см. гл. 6) и их ожидаемой доходностью будет линейной и статистически значимой тогда и только тогда, когда коэффициент "бета" рассчитывается, основываясь на индексном портфеле, принадлежащем эффективному множеству для данной совокупности активов.

Свойство 6. Если коэффициенты "бета" рассчитываются, основываясь на портфеле внутри эффективного множества для данной совокупности активов, то взаимосвязь между коэффициентами "бета" активов и их ожидаемой доходностью перестает быть линейной.

Свойство 7. Взаимосвязь между коэффициентами "бета", рассчитанными на основе не принадлежащего эффективному множеству индексного портфеля, и ожидаемой доходностью любых портфелей с минимальной дисперсией является линейной и статистически значимой.

Свойство 8. Для любого индексного портфеля, принадлежащему эффективному множеству, существуют другие портфели с нулевой корреляцией по отношению к выбранному индексному портфелю. В координатах "доходность – стандартное отклонение" ожидаемая (средняя) доходность для всех некоррелированных портфелей задается точкой пересечения касательной к индексному портфелю с осью доходности.

Свойства эффективного множества портфелей для случая, когда короткие продажи запрещены

Свойство 9. Большинство акций имеют нулевые веса в портфелях, принадлежащих эффективному множеству.

Свойство 10. Количество акций в портфеле из эффективного множества увеличивается по мере уменьшения дисперсий этих портфелей.

Свойство 11. Портфели, являющиеся комбинацией портфелей эффективного множества, могут не принадлежать эффективному множеству.

Свойство 12. Если в качестве индексного портфеля выбирается портфель из эффективного множества, то существует линейная статистически значимая связь между ожидаемой доходностью и коэффициентами "бета" для всех акций, которые имеют ненулевой вес в составе этого индексного портфеля.

Также существует только один портфель, у которого среди всех возможных портфелей из данных активов самый низкий риск. На рис. 5.8 это портфель F, такой портфель часто называют портфелем с минимальной дисперсией (global minimum variance portfolio, GMV). Как это ни странно, но такой портфель почти никогда не будет выбран для инвестирования ни одним инвестором.

 
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ     След >