Биномиальная модель оценки стоимости опционов

Квалифицированным участникам рынка опционной торговли требуются модели, позволяющие дать точную оценку опционов. Одна из таких моделей – биномиальная модель ценообразования^[1], известная как модель Кокса – Росса – Рубинштейна. Разработанная американскими экономистами Дж. Коксом, С. Россом и М. Рубинштейном, она отличается ясностью принципов построения, оставаясь при этом гибкой и хорошо адаптируемой к нестандартным условиям ее использования. Это делает модель одинаково охотно используемой и теоретиками, и практиками фондового рынка в экономически развитых странах.

Биномиальная модель опционного ценообразования предполагает, что фактические события, связанные с изменением курсов базовых акций, происходят не случайном образом, а регулярно, с определенным шагом во времени, или, иными словами, дискретно. Кроме того, предполагается, что каждое изменение курса акций может осуществляться в двух режимах: он (курс) может подняться по конкретной процентной ставке или понизиться.

Процентные ставки, определяющие величину изменений курса акций, устанавливаются таким образом, чтобы покрыть всю ширину "типического" отклонения цены акций вверх и вниз. В частности, для курса, повышающегося в конкретном дискрете (периоде) времени, процентную ставку устанавливают в диапазоне ; для падающего курса – , где – средняя арифметическая попериодных относительных изменений ("процентов") курса акций; а σ – стандартное (среднеквадратическое) отклонение.

На рис. 4.7 представлена биномиальная ветвящаяся структура, соответствующая описанным выше условиям применения рассматриваемой модели опционного ценообразования. Здесь – это цена базисной акции на момент оценки стоимости опциона. Каждое увеличение цены акции пропорционально некоторому параметру и и происходит с вероятностью р, каждое уменьшение цены акции пропорционально параметру d и реализуется с вероятностью (1 – р). Например, после первого шага цена акции может быть или . Если и и d различны по величине, распределение цены акции относительно будет несимметричным.

В биномиальном процессе со многими периодами оценка опциона осуществляется, начиная с заключительного временного периода, двигаясь назад к текущему моменту (на рис. 4.7 справа налево).

Математические особенности биномиального процесса обеспечивают вполне приемлемую для трейдеров скорость расчетов по модели. Так, из рис. 4.7 следует, что одношаговое повышение цены, за которым начинается одношаговое ее понижение, приводит к тому же результату, что и одношаговое понижение цены, за которым происходит одношаговое повышение. Это уменьшает количество всех возможных вариантов цен и сокращает время расчетов.

Рис. 4.7. Биномиальная модель опционного ценообразования

Большинство компьютерных программ, реализующих биномиальную модель опционного ценообразования, позволяют пользователю самостоятельно задавать число шагов, необходимых для оценивания опционов с требуемой точностью. Как правило, если срок "жизни" опциона невелик, ограничиваются не более чем 50 шагами.

Центральный момент расчета стоимости опциона в биномиальной модели – использования идеи дублирующего^[2] инвестиционного портфеля, основанного на предложении, что на развитом и эффективном рынке любые два финансовых инструмента (или портфеля инструментов), полностью эквивалентные друг другу по уровню полезности, должны иметь одинаковую привлекательность (ценность) для инвестора. Учитывая это, всегда можно подобрать дублирующий портфель из рыночных ценных бумаг, который дает такую же отдачу, как и конкретный опцион, а следовательно, имеет такую же рыночную стоимость. Эту концепцию иногда называют условием нулевого арбитража, или законом единой цены на основании того факта, что активы, обеспечивающие одинаковую отдачу, должны также иметь одинаковую цену в отсутствие арбитражных прибылей.

Так, покупку опциона колл на какую-либо акцию можно заменить (продублировать) эквивалентным инвестиционным портфелем – приобретением некоторого количества этих акций на заемные деньги. Действительно, когда вы покупаете опцион колл, то получаете право через некоторое время (заплатив за акции) получить эти акции в собственность. Когда вы проиобретаете акции на заемные средства, также получаете право через определенное время (выплатив долг) получить эти акции в собственность. Таким образом, эквивалентность рассматриваемого опциона и дублирующего инвестиционного портфеля здесь очевидна. Стоимость портфеля "деньги – акции", если его состав точно известен, определяется достаточно просто. Учитывая же, что в биномиальной модели данный портфель всегда так составлен, чтобы по стоимости он был равен стоимости конкретного опциона, проблема расчета стоимости опциона становится вполне разрешимой.

Проанализируем биномиальную модель определения цены опциона с одним периодом, рассчитав для этого параметры так называемого хеджированного (дублирующего) портфеля, эквивалентного опциону колл. Предположим, что базовая акция с курсовой стоимостью S0 может к концу текущего периода, например квартала, либо вырасти в цене с коэффициентом роста , либо упасть в цене с коэффициентом роста . На рассматриваемые акции выписан опцион колл сроком на 3 мес. (квартал) с ценой исполнения Е.

Обозначим через – стоимость опциона к концу периода, если цена акции в этот момент достигнет уровня :

Аналогично обозначим – стоимость опциона колл к концу периода, если цена базовой акции к этому моменту снизится до уровня :

Допустим, имеем возможность занять денежные средства под безрисковую ставку . Тогда, если займем некоторую сумму денежных средств D и приобретем т акций, полученный таким образом инвестиционный портфель будет иметь стоимость . Стоимость такого портфеля должна быть в точности равна стоимости опциона колл (), т.е. через квартал в момент истечения опциона рассматриваемый портфель должен обеспечить нам получение доходаилив зависимости от того, повысится цена базовой акции или понизится. С учетом вышесказанного, если доходы от хеджированного портфеля и опциона одинаковы, а цена акций повышается, должно выполняться следующее равенство:

Если доходы от хеджированного портфеля и опциона одинаковы, а цена базовой акции снижается, будет выполняться равенство

Значения и на конец периода, когда истекает срок опциона, известны, так как известны характеристики опциона и цена базовой акции. Таким образом, имеем два уравнения с двумя неизвестными т и D:

Вычитая из первого уравнения второе, получим решение относительно m.

Величина m называется коэффициентом хеджирования, или дельтой опциона; она определяет, сколько базовых акций необходимо приобрести, чтобы получить от портфеля такой же денежный доход, как и от покупки одного опциона колл.

Подставляя найденное значение т в рассматриваемую систему уравнений и решая ее относительно параметра D, получим

Найдя параметры хеджированного портфеля, можно рассчитать его стоимость, а следовательно, и стоимость эквивалентного ему опциона колл: .

Покажем на числовом примере, как биномиальная модель опциона используется для формирования хеджированного портфеля и вычисления стоимости опциона колл.

Пример. Предположим, необходимо рассчитать стоимость опциона колл на акции с ценой исполнения Е = 120 долл. США. Срок опциона истечет через один период. В настоящее время цена акции =100 долл., а через один период она составит 150 долл. или 100 долл. Безрисковая ставка процента – 10% за период.

Решение.

На каждый опцион следует приорести 0,6 акции на сумму 0,6 ∙ 100 = 60 долл., взяв заем 60 : 1,1 = 54,55 долл. (в конце периода в счет погашения долга будет уплачено 54,55 ∙ 1,1 = 60 долл.).

Если произойдет рост цены базовой акции, стоимость портфеля составитдолл.

Если цена акции снизится, то стоимость хеджируемого портфеля будет

Первоначальная стоимость опциона колл при заданных в примере условиях равна

Если опцион будет продаваться на фондовом рынке по цене, отличной от равновесной (в рассмотренном выше примере это 5,45 долл.), инвестор, знающий, как должен быть сформирован хеджированный портфель, может без риска получить прибыль на арбитражных сделках. Например, пусть опцион колл продается но 10 долл. Так как цена опциона завышена, инвестор будет продавать опционы колл с целью арбитража (получения прибыли).

Инвестор, продающий опцион колл, в случае его исполнения обязан приобрести акцию по рыночной цене или иметь ее, так как акции необходимо будет продать покупателю опциона колл по цене исполнения. Чтобы в данных условиях гарантировать себе прибыль, арбитражер в момент продажи опциона возьмет в долг 54,55 долл. и купит 0,6 акции. В этот момент времени его денежные потоки будут следующими:

В конце рассматриваемого периода арбитражер продаст акции, вернет долг, и, если опцион исполняется, приобретет акцию на рынке и отдаст ее в обмен на цену исполнения. Если цена на акции поднимется, то опцион будет исполнен, и соответствующие денежные потоки в конце периода будут такими:

Если цена акции составит к моменту истечения опциона 100 долл. он не будет исполнен, и арбитражер продаст акцию, используя полученные средства на уплату долга. Тогда денежные потоки в конце рассматриваемого периода составят 60 – 60 = 0.

Следовательно, если стоимость опциона колл завышена, арбитражер может продавать опционы покупателя и без риска получать гарантированную прибыль, равную разнице между рыночной ценой опциона и чистыми расходами на покупку (формирование) хеджированного инвестиционного портфеля.

Если стоимость опциона колл занижена, составляя таким образом величину, меньшую чем расходы на покупку хеджированного портфеля, арбитражер будет заключать сделки, противоположные только что рассмотренным. В частности, продаст 0,6 акций за 60 долл., купит облигации на сумму 54,55 долл. под 10% (т.е., предоставит эту сумму в долг) и приоритет опцион колл.

Предположим, что опцион можно купить за 3 долл. Тогда денежные потоки арбитражера, долл., на начало периода будут следующими:

• • продажа 0,6 акций 60,00 (0,6-100)
• • покупка облигаций -54,55
• • покупка опциона колл

Итого 2,45

Таким образом, денежные потоки инвестора-арбитражера на начало периода будут в точности равны разнице между истинной (равновесной) стоимостью опциона колл и его рыночной (фактической) стоимостью. Нетрудно убедиться в том, что его денежные потоки на конец рассматриваемого периода сведутся к нулю.

Так, если к концу периода цена на акции рассматриваемой компании возрастет, инвестор-арбитражер исполнит опцион со следующим финансовым результатом, долл.:

• • покупка акций по опциону -120,00
• • продажа акций по текущему курсу 150,00
• • покупка 0,6 акций 90,00 (0,6 ∙ 150)
• • погашение облигаций 60,00 (54,55 ∙ 1,1)

Итого 0

Если цена акций к моменту истечения опциона упадет (в нашем примере она осталась неизменной на уровне 100 долл.), опцион инвестором-арбитражером исполнен не будет; на средства, вырученные от погашения облигаций он приобретет 0,6 акций, и его денежные потоки в этом случае также сведутся к нулю (54,55 ∙ 1,1 – 60,00 = 0). Таким образом, у арбитражера есть возможность получить гарантированную прибыль в случае, если только стоимость опциона отличается от чистых расходов на покупку эквивалентного хеджированного портфеля.

Арбитражеры, осуществляя свои арбитражные операции, не дают рыночной цене опциона отклониться от рыночной стоимости эквивалентного хеджированного портфеля. Такой подход к оценке опциона колл известен под названием арбитражной оценки.

Многопериодная биномиальная модель оценки стоимости опциона колл (Vc) представляется выражением^[3]

где t – количество периодов, на которое разбивается интерват времени, оставшийся до исполнения опциона (Г); r – безрисковая ставка процента; и, d – темпы роста цены базовой акции при наступлении первого или, соответственно, второго состояния экономики: и > d; k – количество раз возрастания цены с темпом и; (t – к) – количество раз снижения цены с темпом d; S – рыночная цена базовой акции; Е – цена исполнения опциона.

В многопериодной биномиальной модели вычислительный процесс происходит итеративно, от конца к началу по шкале времени. На каждом шаге оценивается дублирующий инвестиционный портфель, снабжая при этом информацией о стоимости опциона для этого периода, необходимой для дальнейших вычислений. Конечный результат вычислительного процесса – стоимость опциона, выраженная в составных элементах дублирующего портфеля, т.е. состоящая из определенного количества базового актива (т) и количества денежных средств (D), занятых под безрисковую процентную ставку.

Использование биномиальной модели при разбиении временно́го интервала, оставшегося до исполнения опциона, на пять периодов, дает результаты, приблизительно совпадающие с результатами расчета но модели Блэка – Шоулза, представленной ниже.

• [1] Модель бинарного дерева.
• [2] Его также называют заменяющим, хеджированным, эквивалентным, репликативным.
• [3] Доказательство формулы Кокса, Росса и Рубинштейна см. в: Мертенс А. Инвестиции: Курс лекций по современной финансовой теории. К., 1997. С. 346–348.