Сравнительный анализ расчетов на основе многопериодных моделей

Проведем сравнительный анализ расчетов текущей стоимости рискового бизнеса или ценности рисковых инвестиций на основе многопериодной биномиальной и непрерывной моделей. Для того чтобы пояснить, как связаны оценки стоимости бизнеса, которые могут быть получены на основе формулы Блэка Шоулза и многопериодной биномиальной модели, а также провести их сравнительный анализ, будем предполагать, что оценки прибыли каждого года определяются на основе формулы расчета доходов по опциону.

Рассмотрим пример, предполагающий разделение прибыли на две части, как это было сделано в гл. 13. Будем считать, что исходное значение прибыли в текущий период времени без учета условно-постоянных расходов, составляет 90 млн руб. Эта сумма в следующих периодах может увеличиваться с коэффициентом 1,3 или уменьшаться с коэффициентом 0,9. Рассматриваемый период времени составляет три года. Будем считать, что текущая сумма условно-постоянных расходов равна 70 млн руб., темп инфляции — 10%; будущие условно-постоянные расходы представлены в табл. 14.4.

Вначале выполним расчеты стоимости рискового бизнеса, учитывая распределение прибыли за каждый год и используя формулу дискретной многопериодной биномиальной модели.

Расчеты будущей прибыли в зависимости от цены исполнения и ожидаемого роста цены акции на рынке будут выполнены аналогично тому, как это сделано в параграфе 13.3, но при единственным отличии, которое состоит в том, что не рассматриваются отрицательные значения прибыли и прибыль определяется по формуле дохода но опциону. Соответствующая формула записывается так:

где т — число, показывающее, сколько раз цена возрастала с темпом роста а в течение периода t.

В соответствии с исходными данными S = 90, условно-постоянные расходы составляют Х0 = 70; Хх = 77; Х2 = 84,7; Х3 = 93,17; коэффициенты я- 1,3, Ь3 = 0,9.

Результаты расчетов распределения будущей прибыли для трех рассматриваемых периодов по формуле (14.8) представлены на рис. 14.1.

Для определения настоящей стоимости распределения прибыли каждого года нужно пересчитать соответствующие значения распределения прибыли каждого года в оценку на нулевой период. Для этого выделим прибыль периода t и будем считать, что при ее определении базовая прибыль изменялась т раз с темпом роста а и соответственно t - т раз с темпом роста Ь. Обозначим ее П,и(£) и для ее определения воспользуемся формулой (14.8).

Распределение прибыли по годам в условиях данного примера, млн руб

Рис. 14.1. Распределение прибыли по годам в условиях данного примера, млн руб.

Рассмотрим подробнее условия перехода от прибыли периода t к ее оценке на нулевой период.

Учитывая, что базовая часть прибыли может возрастать с темпом роста а или b при переходе из этой точки к доходам следующего (t + 1)-го периода, получим два значения прибыли по аналогии с формулами (13.6) и (13.7), но с учетом особенности формулы (14.8). Запишем их так:

В первом случае базовая прибыль в году t возросла с темпом роста а, во втором — Ь. Определим стоимость этой пары прибыли в году t - 1 по формуле оценки текущей стоимости опциона со сроком исполнения один год, используя однопериодную формулу вида (13.8). Тогда получим:

Используя формулу (14.11), выполним пересчет распределения прибыли для третьего года. В начале определим значения параметров, которые не зависят от расчетного периода. В соответствии с исходными данными примера получим:

Для первой пары прибыли третьего года т = 3 и т = 2. Учитывая данные табл. 14.7, которые рассчитаны по формулам (14.9) и (14.10) соответственно, и используя формулу (14.11), имеем:

Таблица 14.7

Текущая стоимость распределения прибыли третьего года

Оценка распределения прибыли третьего года

Распределение прибыли третьего года

на 0-й год

на 1-й год

на 2-й год

-

-

-

104,56

-

-

74,46

43,72

-

52,30

-

43,72

-

-

27,66

1,60

36,33

-

-

43,72

27,66

1,60

17,49

1,60

1,00

0

Аналогично выполнены расчеты для остальных трех пар доходов третьего года с учетом изменения значения параметра т, а также сделан пересчет полученных оценок для второго и первого годов последовательно по формуле (14.11). Его оставляем для самостоятельных расчетов (см. практическое задание 7). Весь набор результатов расчетов приведен в табл. 14.7. Ее данные показывают, что равновесная текущая стоимость построенного распределения прибыли в третьем году составляет 36,33 млн руб.

Подобным образом можно выполнить расчеты для распределения прибыли второго года. Результаты расчетов приведены в табл. 14.8.

Таблица 14.8

Текущая стоимость распределения прибыли второго года, млн руб.

Оценка распределения прибыли второго года

Распределение прибыли во втором году

на 0-й год

на 1-й год

-

-

67,40

-

46,42

20,60

31,69

12,88

20,60

-

-

0,00

Настоящую стоимость доходов по опциону со сроком исполнения один год вычислим по формуле (11.1), учитывая прибыль первого года, которая приведена па рис. 14.1:

Учитывая полученные результаты, стоимость портфеля опционов, составленного из трех рассмотренных выше опционов, будет равна, млн руб.:

Полученный результат означает, что текущая стоимость рассматриваемого рискового бизнеса с учетом распределения прибыли за три гада, определенная по многопериодной биномиальной модели, составляет 93,88 млн руб.

Выполним теперь расчеты текущей стоимости многопериодного бизнеса, учитывая прибыль за каждый год в течение трехлетнего периода и используя формулу Блэка — Шоулза. Необходимые исходные данные и расчетные показатели приведены в табл. 14.9.

Таблица 14.9

Исходные данные и расчетные показатели для оценки будущих доходов со сроками один, два, три года

Исходные данные

Расчетный показатель

S

X

t

σ

r, %

z

z - σ√t

F(z)

F(z - σ√t)

Для потока дохода через один год

90

77

1

0.2

20

1,88002

1,68

0.96995

0,9535

Для потока доходов через два года

90

84,7

2

0,2

20

1.77022

1,487

0,96165

0,9315

Для потока доходов через три года

90

93,17

3

0,2

20

1,80533

1,459

0,96449

0,9277

По формуле (И. 1) определим значения параметра zt для всех трех рассматриваемых периодов. Например, для периода, равного одному году, имеем:

Соответственно, второй параметр формулы Блэка — Шоулза для первого года составит:

Аналогично определяются значения параметров zt и zt - cft формулы Блэка- Шоулза для остальных рассматриваемых периодов: второго и третьего годов. Их конкретные значения приведены в табл. 14.9.

Используя данные табл. 14.9, относящиеся к первому периоду, определим стоимость рисковых доходов первого года по формуле Блэка — Шоулза. Учитывая значение функции е 11 из табл. 14.5, получим:

Текущая стоимость будущих доходов первого года планового периода, определенная с учетом формулы (14.1), составляет 27,18 млн руб. Аналогично предыдущему, используя данные табл. 14.7, можно показать, что

Их обоснование оставляем для самостоятельных расчетов (см. практическое задание 5).

Тогда текущую стоимость бизнеса, млн руб., можно определить в соответствии с формулой (14.6) следующим образом:

При использовании формулы Блэка — Шоулза в многопериодном варианте оценка текущей стоимости рассматриваемого рискового бизнеса составляет 100,21 млн руб.

Сопоставляя полученные результаты, можно отметить, что, с одной стороны, принципы учета будущих доходов в условиях применения биномиальной модели или формулы Блэка —Шоулза существенно различаются. В условиях биномиальной модели соответствующие доходы рассчитываются для каждого периода, в то время как для формулы Блэка Шоулза эти доходы учитываются косвенно, только через волатильность. Но с другой стороны, если сравнить полученные результаты оценки текущей стоимости рассматриваемого рискового бизнеса, то можно отметить очень маленькое различие между ними. Оно составляет, %:

Отклонение 6,74% — достаточно малая величина. Более того, можно показать, что при увеличении числа рассматриваемых периодов указанное отклонение в расчетах на основе двух рассматриваемых формул будет сокращаться. Это оставляем для самостоятельных расчетов (см. практическое задание 7).

Вместе с тем представленные расчеты позволяют сделать важный вывод, что определенное преимущество применения формулы Блэка —Шоулза по сравнению с многопериодной биномиальной моделью при определении текущей стоимости рискового бизнеса заключается в резком сокращении исходной информации и существенном упрощении расчетов, и сокращении времени проведения этих расчетов. Но при этом очевидно, что определенный недостаток расчетов стоимости бизнеса по формуле Блэка —Шоулза состоит в том, что они выполняются совершенно без всякой связи с тем, существуют ли в действительности на фондовом рынке отдельные акции или портфель из них, доходы по которому повторяют доходы по данному бизнесу или соответствуют им.

Ту же самую претензию можно высказать и в отношении биномиальной модели. В параграфе 13.2 была показана принципиальная возможность построения эквивалентного портфеля в случае однопериодной модели. В случае многопериодной модели подобный портфель должен быть построен для каждого распределения рассматриваемых значений прибыли. Это можно сделать по аналогии с портфелем, построенным в параграфе 13.2, и распространить его на многопериодный случай.

На рынке опционов складывается принципиально отличная от других рынков система ценообразования, в основу которой положен принцип, сформулированный в условиях арбитражной концепции рынка. Этот принцип состоит в том, что одни и те же будущие доходы на текущем рынке должны в состоянии равновесия иметь одну и ту же равновесную рыночную стоимость вне зависимости от того, с помощью каких финансовых инструментов эти доходы достигаются. На рынке опционов это обеспечивается за счет наличия эквивалентных портфелей, доходы по которым совпадают с доходами по опциону в каждом будущем состоянии экономики. Возникновение возможности получения арбитражного дохода регулирует рынок и позволяет сделать вывод о том, что полученные модели дают возможность определения равновесной рыночной цены опциона. В условиях перенесения принципов оценки рыночных опционов на реальную экономику исчезает указанный арбитражный доход как регулятор рынка, получаемые оценки стоимости бизнеса или оценки реальных опционов перестают быть равновесными рыночными оценками, а становятся индивидуальными оценками, допустимыми для менеджера или собственника, проводящего соответствующие расчеты.

 
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ     След >