Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Экономика arrow Исследование операций в экономике

Двойственные задачи

Каждой задаче линейного программирования соответствует другая задача, называемая двойственной, или сопряженной, по отношению к исходной. Теория двойственности оказалась полезной для проведения качественных исследований задач линейного программирования.

Экономическая интерпретация задачи, двойственной задаче об использовании ресурсов

В гл. 1 рассмотрена задача об использовании ресурсов (экономико-математическая модель и содержательная интерпретация этой задачи I представлены в левой части табл. 6.1). В приведенной модели Ь- (г = 1, 2,..., т) обозначает запас ресурса S' а. – число единиц ресурса Sjt потребляемого при производстве единицы продукции Р. (j = 1,2, ..., п); Cj – прибыль (выручка) от реализации единицы продукции Р. (или цена продукции Р.).

Предположим, что некоторая организация решила закупить ресурсы 5,, S2,..., Sm предприятия и необходимо установить оптимальные цены на эти ресурсы yv у2,..., ут.

Очевидно, что покупающая организация заинтересована в том, чтобы затраты на все ресурсы Z в количествах bv b2,..., Ьт по ценам соответственно уу у2,..., ут были минимальны, т.е.

В то же время, предприятие, продающее ресурсы, заинтересовано в том, чтобы полученная выручка была не менее той суммы, которую предприятие может получить при переработке ресурсов в готовую продукцию. На изготовление единицы продукции Р{ расходуется "∏ единиц ресурса 54, а2[ единиц ресурса S2,..., ап единиц ресурса 5(,..., ami единиц ресурса Sm по цене соответственно у{, у2,..., ут. Поэтому для удовлетворения требований продавца затраты на ресурсы, потребляемые при изготовлении единицы продукции Р{, должны быть нс менее ее цены cv т.е.

Аналогично можно составить ограничения в виде неравенств по каждому виду продукции. Экономико-математическая модель и содержательная интерпретация полученной таким образом двойственной задачи II приведены в правой части табл. 6.1.

Таблица 6.1

Задача I (исходная)

Задача II (двойственная)

при ограничениях:

при ограничениях:

и условии неотрицательности

и условии неотрицательности

Составить такой план выпуска продукции X = (xv х2, .... хп), при котором прибыль (выручка) от реализации продукции будет максимальной при условии, что потребление ресурсов по каждому виду продукции не превзойдет имеющихся запасов

Найти такой набор цен (оценок) ресурсов Y = г у2,..., уп), при котором общие затраты на ресурсы будут минимальными при условии, что затраты на ресурсы при производстве каждого вида продукции будут не менее прибыли (выручки) от реализации этой продукции

Цены ресурсовв экономической литературе получили различные названия: учетные, неявные, теневые. Смысл этих названий состоит в том, что это условные, "ненастоящие" цены. В отличие от "внешних" цен па продукцию, известных, как правило, до начала производства, цены ресурсовявляются внутренними, так как они задаются не извне, а определяются непосредственно в результате решения задачи, поэтому их чаще называют оценками ресурсов.

Взаимно двойственные задачи линейного программирования и их свойства

Рассмотрим формально две задачи I и 11 линейного программирования, представленные в табл. 6.1, абстрагируясь от содержательной интерпретации параметров, входящих в их экономико-математические модели. Обе задачи обладают следующими свойствами.

  • 1. В одной задаче ищут максимум линейной функции, в другойминимум.
  • 2. Коэффициенты при переменных в линейной функции одной задачи являются свободными членами системы ограничений в другой.
  • 3. Каждая из задач задана в стандартной форме, причем в задаче максимизации все неравенства вида "<", а в задаче минимизации все неравенства вида ">".
  • 4. Матрицы коэффициентов при переменных в системах ограничений обеих задач являются транспонированными друг к другу: 5 6

  • 5. Число неравенств в системе ограничений одной задачи совпадает с числом переменных в другой задаче.
  • 6. Условия неотрицательности переменных имеются в обеих задачах.

Две задачи I и II линейного программирования, обладающие указанными свойствами, называются симметричными взаимно двойственными задачами. В дальнейшем для простоты будем называть их просто двойственными задачами.

Исходя из определения, можно предложить следующий алгоритм составления двойственной задачи.

  • 1. Привести все неравенства системы ограничений исходной задачи к одному смыслу: если в исходной задаче ищут максимум линейной функции, то все неравенства системы ограничений привести к виду "≤", а если минимум – к виду "≥". Для этого неравенства, в которых данное требование не выполняется, умножить на -1.
  • 2. Составить расширенную матрицу системы Ау в которую включить матрицу коэффициентов при переменных А, столбец свободных членов системы ограничений и строку коэффициентов при переменных в линейной функции.
  • 3. Найти матрицу А{, транспонированную к матрице Аг
  • 4. Сформулировать двойственную задачу на основании полученной матрицы А и условия неотрицательности переменных.
  • 6.1. Составить задачу, двойственную следующей задаче:

при ограничениях:

Решение. 1. Так как исходная задача на максимизацию, то приведем все неравенства системы ограничений к виду "≤", для чего обе части первого и четвертого неравенства умножим на -1. Получим

2. Составим расширенную матрицу системы:

3. Найдем матрицу А , транспонированную к А:

4. Сформулируем двойственную задачу: при ограничениях:

 
Если Вы заметили ошибку в тексте выделите слово и нажмите Shift + Enter
< Предыдущая   СОДЕРЖАНИЕ   Следующая >
 

Популярные страницы