Метод множителей Лагранжа

экстремума функции z = f[X) сводится к нахождению локального экстремума функции L (X). Если стационарная точка найдена, то вопрос о существовании экстремума в простейших случаях решается на основании достаточных условий экстремума – исследовании знака второго дифференциалав стационарной точке при условии, что переменные приращения tvc- связаны соотношениями

(9.16)

полученными путем дифференцирования уравнений связи. Рассмотрим пример.

9.3. Найти наибольшее и наименьшее значение функции

при условии, чтоудовлетворяют уравнению

Решение. Уравнение связи определяет в пространстве сферу единичного радиуса с центром в начале координат (рис. 9.2). Так как сфера – замкнутое ограниченное множество, то согласно теореме Вейерштрасса функция достигает на ней своего наибольшего и наименьшего значения.

Необходимо найти условный экстремум. Запишем уравнение связи в виде

Рис. 9.2

Составим функцию Лагранжа:

Найдем частные производные этой функции по:

Приравняв частные производные нулю, получим систему:

Решая систему, получим стационарные точки, в которых найдем значения функции г:

Выберем из всех значений z наибольшее и наименьшее: ., а. Легко видеть, в каких точках сферы до

стигаются эти значения. ►

Если число переменных п = 2, нелинейные задачи можно решать геометрически. Ограничения должны быть записаны в виде неравенств

(9.17)

а целевая функция имеет вид

(9.18)

Как и в случае геометрического решения задач линейного программирования, сначала необходимо построить область допустимых решений (ОДР) – множество точек плоскости, удовлетворяющих неравенствам (9.17). Но в отличие от задач линейного программирования здесь ОДР не обязательно будет выпуклой и может быть даже разрывной. Экстремум функции может достигаться и внутри области, и на границе.

После построения ОДР следует записать уравнения линий уровня целевой функции – множество точек плоскости, в которых целевая функция (9.18) постоянна:,

и определить направление возрастания (убывания) целевой функции, построив, например, линии уровня для разных значений С. Затем, перемещая линию уровня в нужном направлении в ОДР, найти точки области, в которых целевая функция принимает оптимальное значение.

9.4. Найти наибольшие значения функции при ограничениях:

Решение: ОДР (рис. 9.3) ограничена прямыми х{ – - х2 = 2 х2 = 4, осями координати гиперболой, уравнение которой приводится к виду

Линий уровня целевой функции. Для разных значений С графиком уравненияявляется парабола с осью симметрии, совпадающей с осью ординат.

Рис. 9.3

При С = 0 парабола проходит через начало координат. При С > 0 параболы сдвигаются вниз. Перемещаясь в направлении возрастания, получим, что линии уровня покидают ОДР через точку X* пересечения гиперболы

и прямой

Решая систему, составленную из этих двух уравнений, получим. Поэтому

или. ►

Трудности применения классических методов оптимизации уже отмечались выше (с. 13, 14). Поэтому разработаны приближенные методы решения нелинейных задач программирования, особенно плодотворные для некоторых классов функций, например для выпуклых (вогнутых) функций, рассмотренных в следующей главе.

 
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ     След >