Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Экономика arrow Исследование операций в экономике

Задача оптимизации финансового портфеля

Пусть на рынке обращается п активов,– их доходы, – их ожидаемые доходности,– попарные ковариации. Будем считать, что все

Предположим, что инвестор собирается вложить единицу денежных средств в обращающиеся на рынке активы. Пусть– средства, вложенные в г-й актив. Вектор

(16.3)

где, называется финансовым портфелем.

Доходностью финансового портфеля х является величина ожидаемой доходностью

(16.4)

а стандартным отклонением портфеля

(16.5)

В классической формулировке задачи оптимизации предполагается, что инвестор при определенном уровне доходности стремится к наименьшему риску, т.е. при заданной величине(16.4) стремится уменьшить(16.5). Очевидно, что минимизация σν эквивалентна минимизации . Таким образом, классическая постановка задачи следующая:

(16.6)

при условии, что

Для решения задачи (16.6) составим функцию Лагранжа Ее критические точки определяются уравнениями:

Таким образом, оптимальный портфельимеет вид

(16.7)

где– решение системы уравнений:

Заметим, что задача (16.6) представляет собой задачу минимизации положительно определенной квадратичной формы при линейном ограничении. Как известно, в этом случае функция Лагранжа имеет единственную критическую точку, причем это точка минимума функции цели.

Пустьпри заданном значении, т.е.

- минимальное значение оптимизируемой функции цели при заданных условиях. Портфель называется допустимым, если его риск не меньше величины. Допустимый портфель может быть реализован на практике, как правило, различными способами. Если риск портфеля равен величине, такой портфель называется оптимальным при заданной доходности.

Эффективный фронт при наличии ограничений

Пусть– множество портфелей с риском σ и доходностью.

Тогдасоответствует точка на плоскости с координатами(рис. 16.1). Пусть М – множество точек на этой плоскости, которым соответствуют допустимые портфели. Его левая граница – жирная линия соответствует оптимальным портфелям. Она называется эффективным фронтом.

Каждая точка эффективного фронта, лежащая между точками Q и R, может служить оптимальным выбором

Рис. 16.1

для индивидуального инвестора. Очевидно, большему риску соответствует большая доходность. Конкретный выбор обусловлен склонностью индивидуального инвестора к риску.

В предыдущем параграфе рассматривалась задача нахождения оптимального портфеля при отсутствии ограничений на числа х,. В этом случае эффективный фронт представляет собой гиперболу, уравнение которой имеет вид

где

При отсутствии ограничений эффективный фронт одинаков для всех инвесторов. На практике, однако, имеются ограничения, различные для разных инвесторов.

Как правило, эти ограничения линейны и представляют собой систему уравнений и неравенств. С помощью введения дополнительных переменных систему ограничений можно свести к виду

(16.8)

Здесь X – lV-мерный вектор (N = п + I, где ∕ – количество дополнительных переменных), А – (N х т) матрица, b – столбец порядка т. Система ограничений может содержать равенство, однако в некоторых случаях это соотношение может иметь другой вид, если, например, была введена замена переменных вида

Важно отметить, что система ограничений индивидуальна для каждого инвестора.

При наличии ограничений задача минимизации риска при фиксированной доходности может не иметь решения. В этом случае задачу оптимизации оказывается удобнее сформулировать в других терминах.

Справедливо утверждение. Эффективный фронт является выпуклой линией.

В самом деле, пусть имеется два портфеля с доходностями Rv RT Рассмотрим портфель с доходностью . Тогда

что и означает выпуклость линии эффективного фронта (рис. 16.2).

Рис. 16.2

Очевидно также, что линия эффективного фронта не имеет разрывов и при условии ограниченности доходности имеет верхнюю конечную точку.

Рассмотрим теперь эффективный фронт на плоскости с координатами D, г (он также является выпуклой, непрерывной линией – одной параболой при отсутствии ограничений) и семейство прямых(рис. 16.3).

Рис. 16.3

Из выпуклости эффективного фронта следует, что при фиксированном k точка соприкосновения семейства прямых с множеством допустимых портфелей достигается в оптимальном портфеле (отметим, что соприкосновение не обязательно является касанием).

Пусть для дополнительных переменных,

иприили

Тогда следующая задача оптимизации

(16.9)

при ограничениях

при изменении k от нуля до бесконечности задает весь эффективный фронт[1]. Ее решение x(k) представляет собой решение задачи оптимизации портфеля для конкретного инвестора.

Сведем решение задачи (16.9) к задаче линейного программирования. Пусть выполняется линейное равенство

(16.10)

и дополнительное (нелинейное) условие

(16.11)

Пусть у – произвольный N-мерный вектор, удовлетворяющий системе ограничений (16.8) и условию неотрицательности переменных. Из неравенства

следует

т.е. вектор, удовлетворяющий условию (16.10)–(16.11), доставляющий минимум целевой функции (16.9), является оптимальным портфелем.

Сформулируем теперь задачу линейного программирования, решением которой является искомый вектор х. Введем 3N + 2т – мерный векторгде х, и, z – JV-мерные, а– т-мерные векторы. Рассмотрим величины

где .г – произвольный JV-мерный вектор, удовлетворяющий (16.8), и введем матрицу G следующим образом:

(16.12)

Тогда задача линейного программирования имеет вид при ограничениях

(16.13)

Из (16.12) следует, что в качестве начального базисного решения можно выбрать вектор ( xf, 0, 0, 0, |δ;|). Так как задача оптимизации портфеля имеет единственное решение, то решение задачи (16.13) имеет вид

и соответствующий векторявляется искомым решением.

Необходимо также обеспечить выполнение дополнительного нелинейного равенства (16.11). Из неотрицательностиследует, что условие (16.11) будет выполнено, если при переходе от одного базисного решения к другому хотя бы одна из переменных х, или м( была бы неосновной.

Мы не будем здесь обсуждать вопросы невырожденности, гарантирующие сходимость процедуры симплексного метода. На практике существование оптимального решения следует из существования и единственности оптимального портфеля при каждом значении k.

  • [1] При преобразованиях сдвига .г, –> Д', – с, коэффициенты линейной формы и системы ограничений (16.9) изменяются, но это не влияет на дальнейшие результаты.
 
Если Вы заметили ошибку в тексте выделите слово и нажмите Shift + Enter
< Предыдущая   СОДЕРЖАНИЕ   Следующая >
 

Популярные страницы